Calcul intégral - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice INT 1

Calculer les intégrales suivantes : $A_1 = \int_{-2}^{3} t(t^2+2)^7 \,dt$ $A_2 = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 \,dt$ $A_3 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}$ ...

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Exercice INT 2

Calculer les intégrales suivantes : $B_1 = \int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} \,dx$ $B_2 = \int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} \,dt$ $B_3 = \int_{2}^{3} \frac{x}{(x-1)\sqrt{x+1}} \,dx$ $B_4 ...

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Exercice INT 3

Calculer les intégrales suivantes : $C_1 = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - \sin 3x\right) \,dx$ $C_2 = \int_{0}^{\pi} \sin^3(2x) \,dx$ $C_3 = \int_{0}^{\pi} \sin^3 x \cos x \,dx$ ...

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Exercice INT 4

Calculer les intégrales suivantes : $D_1 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx$ ; $D_2 = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin(2x)e^{\cos^2 x} \,dx$ $D_3 = \int_1^{e^2} \frac{\ln t}{t} \,dt$ ; $D...

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Exercice INT 5

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \,dx$ ; $I_2 = \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x} \,dx$ $I_3 = \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)}$ ; $I_4 = \int_...

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Exercice INT 6

On considère l'intégrale : $I = \int_0^{\frac{pi}{4}} \frac{dx}{1+\sin(2x)}$ Montrer que pour tout $x \in \left[0;\frac{pi}{4}\right]$ : $$\frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2}$...

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Exercice INT 7

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \,dx$$ Calculer $I+J$ et $...

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Exercice INT 8

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \cos^4 x \,dx \quad ; \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^4 x \,dx \quad ; \quad K = \int_0^{\frac{pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x) \,dx$$ Ca...

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Exercice INT 9

Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{4}x+6 & \text{si } x Vérifier que $f$ est continue en 3 puis calculer $\int_{-1}^{5} f(x) \,dx$....

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Exercice INT 10

Calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{-1}^3 |3x^2 - 6x| \,dx$ ; $B = \int_2^5 |x^2 - 7x + 12| \,dx$ $I = \int_{1/e}^e |\ln x| \,dx$ ; $J = \int_0^{2\pi} (|\sin x| + |\cos x|) \,dx$ ...

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Exercice INT 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \frac{1}{(x^2+3x+2)^3}$ Déterminer les réels $a, b, c, d, \alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x \in [2;3]$ : $$f(x) = \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}...

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Exercice INT 12

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x}} \,dx$ ; $B = \int_1^e x \ln x \,dx$ $C = \int_0^1 (x+3)e...

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Exercice INT 13

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\frac{pi}{2}} (2x^2-x)\cos x \,dx$ ; $J = \int_0^{\pi} (3x+4)\cos^2 x \,dx$ $K = \int_1^2 x...

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Exercice INT 14

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x}{\cos^2 x} \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^...

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Exercice INT 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$ En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pou...

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Exercice INT 16

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}$$ En utilisan...

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Exercice INT 17

En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $$\int_0^{\frac{pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$$ On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que : ...

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Exercice INT 18

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in...

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Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

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Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

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Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

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Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

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Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

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Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

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Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

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Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

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Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

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Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

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Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

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Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

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Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

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Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^_+$ et $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

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Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

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Exercice INT 34

Calculer : $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$ ...

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Exercice INT 35

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $f$ une fonction continue sur le segment $[0; a]$. On définit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ par : $u_n = \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx} \,dx$ Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n...

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Exercice INT 36

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$F(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$$ Montrer que la fonction $F$ est impaire. Montrer que...

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Exercice INT 37

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 \text{Arctan } x$, l'axe des abscisses et les droites d'équati...

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Exercice INT 38

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 4cm$. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ défini...

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Exercice INT 39

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\|\vec{i}\| = 2cm$. Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la restriction de la fonction $x \mapsto \tan x$ sur $\l...

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Exercice INT 40

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la restriction de la fonction $\cos$ sur $I=[2\pi; 3\pi]$. Vérifier que la fonc...

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Exercice INT 41

On pose : $I_p = \int_1^e x(\ln(x)+1)^p \,dx$ où $p \in \mathbb{N}$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall p \in \mathbb{N}^*) \quad 2I_p = e^2 2^...

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Exercice INT 42

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \begin{cases} f(x) = e^x \sqrt{1-e^x} & \text{si } x \le 0 \\ f(x) = 1 - \frac{\ln x}{x} + \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 & \text{si } x ...

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Exercice INT 43

Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ dans chacun des cas suivants : $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2\sqrt[3]{n^3+k^3}}$ $u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n+k}{n^2+k^2}$ $u_n = \frac{1}{n} \s...

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Exercice INT 44

Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ dans chacun des cas suivants : $u_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ $u_n = \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)^k\right]^{\frac{...

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Exercice INT 45

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle \int_x^{x+1} (1+\ln t) \,dt & \text{si } x > 0 \\ f(0)=0 \\ \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} & ...

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Exercice INT 46

Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $$\frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} = \frac{t}{1+t^2} - \frac{t}{3+t^2} + \frac{1}{3+t^2}$$ Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$\int_0^...

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Exercice INT 47

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1; +\infty[$ par : $f(x) = e^{-\sqrt{x-1}}$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec : $\|\v...

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Exercice INT 48

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \int_0^1 \frac{2^n t}{1+n2^nt^2} \,dt$ Calculer $u_0$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$. ...

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Exercice INT 49

On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ par : $$f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$$ On considère l'intégrale : $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^4 x} \,dx$ ...

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Exercice INT 50

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} \sin x$ Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0$ Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer : $a...

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Exercice INT 51

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} \,dx\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int\limits_0^{\frac{\...

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Exercice INT 52

En utilisant la formule de l'intégration par parties, une ou plusieurs fois, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^e x^2 e^x \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,d...

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Exercice INT 53

On considère les intégrales suivantes : $I = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx \quad ; \quad J = \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx$ $K = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx$ En utilisant deux fois la formule d'...

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Exercice INT 54

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{dx}{1+2e^x}\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int_{-\ln 2}^0 e^{-x} \ln(1+2e^x) \,dx\...

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Exercice INT 55

Soit $m \in \mathbb{R}^*_+$. On considère : \[I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx\] Calculer $~I(m)$ en fonction de $m$ Calculer $~\lim\limits_{m\to +\infty}{I(m)}$ ...

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Exercice INT 56

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ on pose : \[f(x) = \int_x^{2x} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt\] Calculer $f(x)$ en fonction de $~x$. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. ...

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Exercice INT 57

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ...

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Exercice INT 58

On considère les intégrales : $$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$ Montrer que : $J+2I = ...

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Exercice INT 59

Soit $\lambda \in ]0;1[$. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} \ln(1-t^2) \,dt$ Déterminer la limite : $\lim_{\lambda \to 0^+} I(\...

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Exercice INT 60

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$. On considère les intégrales : $$F_a(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}} \quad \text{et} \quad G_a(x) = \int_0^x \sqrt{t^2+a^2} \,dt$$ Montrer que : $F_a(x) = \ln(...

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Exercice INT 61

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+\cos x} \,dx\qquad $ ; $\qquad I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(2x)\cos(5x) \,dx$ $I_3 = \int_0^{\ln(\sqr...

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Exercice INT 62

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x) \,dx \quad \text{et} \quad B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x) \,dx$$ Calculer $A_0$ et $B_0$. ...

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Exercice INT 63

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x \,dx$ Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n - \frac{1}{(n+1)!}$ En déduire que : $\foral...

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Exercice INT 64

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^n}$ Calculer $I_1$. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer $I_{n+1} - I_n...

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Exercice INT 65

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt \quad \text{avec } \left(u=t+\frac{1}{t}...

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Exercice INT 66

Pour tout $(a;x) \in \mathbb{R}^2$ on pose : $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$ En utilisant l'intégration par changement de variable suivant : $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$, ca...

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Exercice INT 67

Soit $a \in [1; +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ on pose : $$I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$$ En utilisant l'intégration par changement de variable et en posant $u = \s...

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Exercice INT 68

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis défini...

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Exercice INT 69

On considère l'intégrale : $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{2x}} \,dx$ En utilisant le changement de variable $t = -x$, montrer que : $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^...

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Exercice INT 70

On considère les intégrales suivantes : $$I = \int_{-1}^1 t \cdot \text{Arctan}(t) \,dt \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^1 \frac{t \cdot \text{Arctan}(t)}{1+e^t} \,dt$$ En utilisant une intégr...

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Exercice INT 71

En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \frac{\pi}{4} - x$, calculer les intégrales : $$L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) \,dx$$ $$L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4...

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Exercice INT 72

Soit $n \in \mathbb{N}^$ et $\alpha \in \mathbb{R}^_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...

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Exercice INT 73

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$ En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\f...

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Exercice INT 74

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$...

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Exercice INT 75

Calculer : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx$$...

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Exercice INT 76

Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$...

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Exercice INT 77

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : $$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$ Montrer que la fonction $f$ est impaire...

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Exercice INT 78

Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$). Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$ En déduire les implications suivantes : ...

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Exercice INT 79

Soit $f$ une fonction impaire et continue sur $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel. Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0$ Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx...

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Exercice INT 80

Soit $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$. Montrer que si $f$ est continue sur $[-a; a]$ et paire, alors : $$\int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_0^a f(x) \,dx$$ En déduire la valeur de...

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Exercice INT 81

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a; b]$ telle que pour tout $x \in [a; b]$ : $f(a+b-x) = f(x)$ Montrer alors que : \[\int_a^b x f(x) \,dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \,dx\] Appli...

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Exercice INT 82

On considère l'intégrale $I$ définie par : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 + e^x}{e^x+1} \,dx$$ En utilisant le changement $x=-t$, montrer que : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 e^x + 1}{e^...

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Exercice INT 83

Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) \quad 1-t \le \frac{1}{1+t} \le 1$ En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{...

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Exercice INT 84

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ une bijection et $g$ sa bijection réciproque. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : ...

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Exercice INT 85

(Les questions suivantes sont indépendantes) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \,dx$ Calculer l'intégrale suivante ...

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Exercice INT 86

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$ Mont...

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Exercice INT 87

Pour tout $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$ Calculer $I_0$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad I_{n} = I_{n-1...

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Exercice INT 88

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

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Exercice INT 89

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$ En déduire que : $\left| \...

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Exercice INT 90

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et vérifiant : $\int_0^1 f(t) \,dt = 0$. En utilisant la fonction $\varphi$ définie par : $$\varphi(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer que : $(\exists...

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Exercice INT 93

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$ Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $...

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Exercice INT 91

Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer qu'il exist...

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Exercice INT 92

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...

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Exercice INT 94

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_1^e x(\ln x)^n \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est positive et décroissante. Montrer que : $(\forall n \in \m...

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Exercice INT 95

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$ Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3...

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Exercice INT 96

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt$ Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)$ puis montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n \ge 0$ ...

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Exercice INT 97

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_0^1 \sqrt[n]{1-x^n} \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante. Vérifier que pour t...

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Exercice INT 98

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt$ Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie par : $$u(t) = \ln(t+\sqrt{1...

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Exercice INT 99

On considère la suite numérique $(I_n)$ définie par : $$I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$$ Calculer $I_0$ et $I_1$. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, montrer que : $$(\forall...

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Exercice INT 100

On pose : $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt$ On considère la fonction $F$ définie sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ par : $$F(x) = \int_{\f...

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Exercice INT 101

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $$F(x) = \int_x^{x+\sqrt{x}} \frac{dt}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$$ En utilisant le théorème de la moyenne, calculer les limites suivante...

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Exercice INT 102

En utilisant une intégration par changement de variable, calculer l'intégrale : (poser $t = \arctan u$) \[ I = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{2dt}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \quad \text{où } x ...

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Exercice INT 103

Le but de cet exercice est de montrer l'irrationalité du nombre $\pi$ (c'est-à-dire : $\pi \notin \mathbb{Q}$) Soit $(u_n)$ une suite numérique à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la sui...

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Exercice INT 104

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ telles que : i. $(\forall t \in [a;b]) \quad g(t) \ge 0$. ii. $(\exists M \in \mathbb{R}^+) (\forall t \in [a;b]) \quad |f(t)| \le M$....

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Exercice INT105

Partie A : Par les produits de sinus et sommes de Riemann Pour tout entier $ n \ge 2 $, on note $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ les racines $ n $-ièmes de l'unité. Démontrer que $ \prod_{k=1}^{n-...

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Exercice INT 1

Calculer les intégrales suivantes : $A_1 = \int_{-2}^{3} t(t^2+2)^7 \,dt$ $A_2 = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 \,dt$ $A_3 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}$ ...

Exercice INT 2

Calculer les intégrales suivantes : $B_1 = \int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} \,dx$ $B_2 = \int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} \,dt$ $B_3 = \int_{2}^{3} \frac{x}{(x-1)\sqrt{x+1}} \,dx$ $B_4 ...

Exercice INT 3

Calculer les intégrales suivantes : $C_1 = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - \sin 3x\right) \,dx$ $C_2 = \int_{0}^{\pi} \sin^3(2x) \,dx$ $C_3 = \int_{0}^{\pi} \sin^3 x \cos x \,dx$ ...

Exercice INT 4

Calculer les intégrales suivantes : $D_1 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx$ ; $D_2 = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin(2x)e^{\cos^2 x} \,dx$ $D_3 = \int_1^{e^2} \frac{\ln t}{t} \,dt$ ; $D...

Exercice INT 5

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \,dx$ ; $I_2 = \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x} \,dx$ $I_3 = \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)}$ ; $I_4 = \int_...

Exercice INT 6

On considère l'intégrale : $I = \int_0^{\frac{pi}{4}} \frac{dx}{1+\sin(2x)}$ Montrer que pour tout $x \in \left[0;\frac{pi}{4}\right]$ : $$\frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2}$...

Exercice INT 7

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \,dx$$ Calculer $I+J$ et $...

Exercice INT 8

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \cos^4 x \,dx \quad ; \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^4 x \,dx \quad ; \quad K = \int_0^{\frac{pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x) \,dx$$ Ca...

Exercice INT 9

Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{4}x+6 & \text{si } x Vérifier que $f$ est continue en 3 puis calculer $\int_{-1}^{5} f(x) \,dx$....

Exercice INT 10

Calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{-1}^3 |3x^2 - 6x| \,dx$ ; $B = \int_2^5 |x^2 - 7x + 12| \,dx$ $I = \int_{1/e}^e |\ln x| \,dx$ ; $J = \int_0^{2\pi} (|\sin x| + |\cos x|) \,dx$ ...

Exercice INT 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \frac{1}{(x^2+3x+2)^3}$ Déterminer les réels $a, b, c, d, \alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x \in [2;3]$ : $$f(x) = \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}...

Exercice INT 12

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x}} \,dx$ ; $B = \int_1^e x \ln x \,dx$ $C = \int_0^1 (x+3)e...

Exercice INT 13

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\frac{pi}{2}} (2x^2-x)\cos x \,dx$ ; $J = \int_0^{\pi} (3x+4)\cos^2 x \,dx$ $K = \int_1^2 x...

Exercice INT 14

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x}{\cos^2 x} \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^...

Exercice INT 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$ En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pou...

Exercice INT 16

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}$$ En utilisan...

Exercice INT 17

En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $$\int_0^{\frac{pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$$ On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que : ...

Exercice INT 18

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in...

Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

Exercice INT 34

Calculer : $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$ ...

Exercice INT 35

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $f$ une fonction continue sur le segment $[0; a]$. On définit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ par : $u_n = \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx} \,dx$ Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n...

Exercice INT 36

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$F(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$$ Montrer que la fonction $F$ est impaire. Montrer que...

Exercice INT 37

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 \text{Arctan } x$, l'axe des abscisses et les droites d'équati...

Exercice INT 38

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 4cm$. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ défini...

Exercice INT 39

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\|\vec{i}\| = 2cm$. Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la restriction de la fonction $x \mapsto \tan x$ sur $\l...

Exercice INT 40

Pour tout $a \in \mathbb{R}^_+$ et $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

Soit $n \in \mathbb{N}^$ et $\alpha \in \mathbb{R}^_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...