Espaces vectoriels - Exercices Corrigés Bac Marocain

Exercice E53

On considère les ensembles suivants : $E ~=~\mathcal{C}^0\left(\mathbb R~;~\mathbb R\right)~~~$: Espace des fonctions réelles continues sur $\mathbb R.$ $F~=~\mathcal{C}^1\left(\mathbb R~;~\mathb...

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Exercice E52

Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $F, G$ et $H$ trois sous-espaces de $E$. Montrer que : $(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G+H)$. A-t-on toujours l'égalité ? Montrer que : $...

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Exercice E51

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $A, B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant \[A \cap C \subset B \qquad C\subset A+B \qquad \text{et} \qquad B \subset C . \] ...

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Exercice E50

Soit $E$ un espace vectoriel, et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F \cap G$ est un sous espace vectoriel de $E$. Montrer que $F \cup G$ est un sous espace vector...

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Exercice E49

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2, toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par : \begin{align*} &u_{n+2} ~= ~au_{n+1}+bu_n~,~~~\for...

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Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...

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Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...

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Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...

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Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...

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Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...

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Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...

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Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...

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Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...

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Exercice E40

On définit sur $\mathbb R$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

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Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C/\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

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Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)/AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

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exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

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Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

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Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...

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Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...

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Exercice E33

On désigne par $E$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $~2~$ de la forme: $$~\left(\begin{array}{cc} a&c \\ 0& b \end{array}\right),~$$ où $~a, b~$ et $~c~$ sont des nombres réels. ...

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Exercice E32

Soit $(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align} ...

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Exercice E31

Dans l'espace vectoriel $~~\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)~~$, les fonctions suivantes sont-elles linéairement indépendantes ? \[f(x)=\sin(x) \qquad ;\qquad g(x)=\sin(2x) \qquad ;\qquad h(x)=\sin(...

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Exercice E30

Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)$. On considère les fonctions : \[f(x)=\cos(x) \quad ;\quad g(x)=\cos(x)\cos(2x) \quad ;\quad h(x)=\sin(x)\sin(2x).\] Donner la dimension ...

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Exercice E28

Soient: \[E=\left\{P\in\mathbb R_3[X]/ P(-1)=0\right\}\qquad\text{et}\qquad F = \left\{P\in\mathbb R_2[X]/ P(1-X)=P(X)\right\}\] Montrer que $E$ et $F$ sont des $~~\mathbb R~$- esp...

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Exercice E27

Soit $\qquad(n\in\mathbb N^\ast~)\qquad\mbox{et} \qquad (~A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)~)$ On pose: \[F=\left\{ M\in\mathcal{M}_n(\mathbb R) / AM=0\right\}\qquad \text{et}\qquad G=\left\{ M\in\...

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Exercice E26

Soit $$A=\left(\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\end{array}\right)$$ On pose: $$K=\left\{ V\in\mathbb R^3 / AV=0\right\}$$ Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb ...

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Exercice E25

Dans $E = \mathbb R^3,$ on considère les ensembles: $$F = \{~(x, y, z) ~:~ x + y - z = 0~\} \qquad \text{et}\qquad G = \{~(x, y, z) ~|~ x + y - 2z = 2x - y - z = 0~\}$$ Montrer que $~F~$ et...

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Exercice E24

Dans $\mathbb R^4$ on considère les vecteurs \[u~=~(1,0,1,0),~v~=~(0,1,-1,0),~w~=~(1,1,1,1),~x~=~(0,0,1,0), ~y~=~(1,1,0,-1).~\] Soient: $F:$ l'espace vectoriel engendré par $(u;v;w)$ $G:~$ cel...

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Exercice E23

Soient: $F = \{(2a, a+b, 2b) ~|~ a,b\in\mathbb R \}$ $u(1,1,1)~,~v(1,0,-1)~:~$ deux vecteurs de $~~\mathbb R^3.$ Montrer que $~F~$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $~u~$ et...

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Exercice E22

Soient $$F = \{(x, y, z) ~|~ x + y - z = 0\} \qquad \text{et}\qquad G = \{(a-b, a+b, a-3b) ~|~ a,b\in\mathbb R\}.$$ Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Dét...

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Exercice E21

Montrer que dans $\mathbb R^2$ les deux vecteurs: $$u = (1, 1, 0),v = (1, 0, 1)$$ engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs: $$x = (1, 3, -2),~~~~y = (1, 4, -3)$$....

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Exercice E20

Déterminer un système d'équations des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ engendrés par les vecteurs suivants : $~u_1 = (1, 2, 3)$. $~u_1 = (1, 2, 3)$ et $u_2 = (-1, 0, 1)$. $~u_1 = (...

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Exercice E19

Soit: $$~E = \left\{~P \in \mathbb R_3[X]: P(-1) = 0 ~\text{ et }~ ~~P(1) = 0~\right\}$$ Montrer que $~E~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb R_3[X]$ Déterminer une base et la dim...

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Exercice E18

Soit: $$P_1=X^2+1,~ P_2=X^2+X-1,~P_3=X^2+X$$ Montrer que la famille $~\left(P_1,P_2,P_3\right)~$ est une base de $~\mathbb R_2[X].$...

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Exercice E17

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivants et en déduire leur dimension. $F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 / x - y = 0\right\}~~~$ dans $~\mathbb R^2$. $F_2 = \left\{(x, y,...

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Exercice E16

Dans $\mathbb{R}^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3,\vec{e}_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres? $(\vec{e}_1,~2\vec{e}_2,~\vec{e}_3)$; ...

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Exercice E15

Dans $~E=\mathcal F(\mathbb{R},\mathbb{R})~$ l'espace vectoriel des fonctions de $~\mathbb{R}~$ dans $~\mathbb R~$. On considère les fonctions: \begin{align*} f~&:~x~\mapsto~\cos(x)\\ g~&:~x~\maps...

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Exercice E14

Soient $~a,~b~$ deux réels quelconques. On définit : \begin{align} f~&:~ x~\mapsto~\sin(x)\\ f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\cos(x+b)\\ \end{align} Montrer que ces trois f...

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Exercice E13

Soient $~a,b,c~$ trois réels quelconques. On définit : f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\sin(x+b) \\ f_c~&:~ x~\mapsto~\sin(x+c) Montrer que ces trois fonctions sont liées....

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Exercice E12

Soient 3 vecteurs $x, y~ $ et ~$ z~$ linéairement indépendants d'un espace vectoriel E. En est-il de même des vecteurs $~x + y,~ x + z~$~ et $~ y + z$ ? Justifier votre réponse....

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Exercice E11

Sous-espaces de $\mathbb{R}^{n}$ Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$: $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x+2y=z\right\}$ $E_1=\left\{ (x;...

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Exercice E10

sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ Déterminer si les parties suivantes sont des sous espaces vectorielles de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ $E_1=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \...

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Exercice E9

Sous-espaces de $~\mathbb{R}[X]$ $\mathbb{R}[X]$ désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels. Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels de $\l...

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Exercice E8

Sous espaces vectoriels de $~~\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ Soit $~E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}~$ l'espace vectoriel des suites numériques. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de...

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Exercice E7

Souespaces de $\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right):$ Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right),~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {R...

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Exercice E6

Sous-espaces de $~\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right)$ Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right)~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {...

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Exercice E5

On considère les ensembles suivants : $H_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x(y+z)=0\right\}$ $H_2=\left\{ f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}) \ /\ \exists x\in\mathbb{R} \ /\ f(x)=0\righ...

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Exercice E4

On considère les ensembles suivants : $G_1=\mathbb{Z}$ $G_2=\mathbb{Q}$ $G_3=\left\{ (x;y)\in\mathbb{R}^2 \ /\ x\geqslant y\right\}$ $G_4,~ $ensemble des fonctions réelles positives ou nulles. ...

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Exercice E3

On considère les ensembles suivants : $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x+y+z=1\right\}$ $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]\text{tel que} P(0)=2\}$ $E_3= \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c ...

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Exercice E2

Soit $~E= \mathbb{R_+^\star}\times \mathbb{R_+^\star}~$ On définit l'addition $\oplus$ dans $~E~$ par: $$~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$$ Et la loi externe $\odot$ par: $$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambd...

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Exercice E1

Soit: $~E=\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R} .~$. On définit: l'addition dans $E$ par: $$~(a,b)+(c,d)=(ac,b+d)~$$ la loi externe par: $$\lambda.(a,b)=(a^\lambda , \lambda b).$$ Montrer que...

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Exercice E53

On considère les ensembles suivants : $E ~=~\mathcal{C}^0\left(\mathbb R~;~\mathbb R\right)~~~$: Espace des fonctions réelles continues sur $\mathbb R.$ $F~=~\mathcal{C}^1\left(\mathbb R~;~\mathb...

Exercice E52

Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $F, G$ et $H$ trois sous-espaces de $E$. Montrer que : $(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G+H)$. A-t-on toujours l'égalité ? Montrer que : $...

Exercice E51

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $A, B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant \[A \cap C \subset B \qquad C\subset A+B \qquad \text{et} \qquad B \subset C . \] ...

Exercice E50

Soit $E$ un espace vectoriel, et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F \cap G$ est un sous espace vectoriel de $E$. Montrer que $F \cup G$ est un sous espace vector...

Exercice E49

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2, toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par : \begin{align*} &u_{n+2} ~= ~au_{n+1}+bu_n~,~~~\for...

Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...

Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...

Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...

Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...

Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...

Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...

Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...

Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...

Exercice E40

On définit sur $~~\mathbb R~~$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C~~/~~\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)~~/~~AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...

Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...

Exercice E33

On désigne par $~~E~~$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $~2~$ de la forme: $$~\left(\begin{array}{cc} a&c \\ 0& b \end{array}\right),~$$ où $~a, b~$ et $~c~$ sont des nombres réels. ...

Exercice E32

Soit $~~(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.~~$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align*} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align*} ...

Exercice E31

Dans l'espace vectoriel $~~\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)~~$, les fonctions suivantes sont-elles linéairement indépendantes ? \[f(x)=\sin(x) \qquad ;\qquad g(x)=\sin(2x) \qquad ;\qquad h(x)=\sin(...

Exercice E30

Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)$. On considère les fonctions : \[f(x)=\cos(x) \quad ;\quad g(x)=\cos(x)\cos(2x) \quad ;\quad h(x)=\sin(x)\sin(2x).\] Donner la dimension ...

Exercice E28

Soient: \[E=\left\{P\in\mathbb R_3[X]~~/~~ P(-1)=0\right\}\qquad\text{et}\qquad F = \left\{P\in\mathbb R_2[X]~~/~~ P(1-X)=P(X)\right\}\] Montrer que $~~E~~$ et $~~F~~$ sont des $~~\mathbb R~$- esp...

Exercice E27

Soit $\qquad(n\in\mathbb N^\ast~)\qquad\mbox{et} \qquad (~A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)~)$ On pose: \[F=\left\{ M\in\mathcal{M}_n(\mathbb R) ~~/~~ AM=0\right\}\qquad \text{et}\qquad G=\left\{ M\in\...

Exercice E26

Soit $$A=\left(\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\end{array}\right)$$ On pose: $$K=\left\{ V\in\mathbb R^3 / AV=0\right\}$$ Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb ...

Exercice E25

Dans $~~E = \mathbb R^3~~,$ on considère les ensembles: $$F = \{~(x, y, z) ~:~ x + y - z = 0~\} \qquad \text{et}\qquad G = \{~(x, y, z) ~|~ x + y - 2z = 2x - y - z = 0~\}$$ Montrer que $~F~$ et...

Exercice E24

Dans $\mathbb R^4$ on considère les vecteurs \[u~=~(1,0,1,0),~v~=~(0,1,-1,0),~w~=~(1,1,1,1),~x~=~(0,0,1,0), ~y~=~(1,1,0,-1).~\] Soient: $F:$ l'espace vectoriel engendré par $(u;v;w)$ $G:~$ cel...

Exercice E23

Soient: $F = \{(2a, a+b, 2b) ~|~ a,b\in\mathbb R \}$ $u(1,1,1)~,~v(1,0,-1)~:~$ deux vecteurs de $~~\mathbb R^3.$ Montrer que $~F~$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $~u~$ et...

Exercice E22

Soient $$F = \{(x, y, z) ~|~ x + y - z = 0\} \qquad \text{et}\qquad G = \{(a-b, a+b, a-3b) ~|~ a,b\in\mathbb R\}.$$ Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Dét...

Exercice E21

Montrer que dans $~~\mathbb R^2~~$ les deux vecteurs: $$~~u = (1, 1, 0),~~~~v = (1, 0, 1)$$ engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs: $$~~x = (1, 3, -2),~~~~y = (1, 4, -3)$$....

Exercice E20

Déterminer un système d'équations des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ engendrés par les vecteurs suivants : $~u_1 = (1, 2, 3)$. $~u_1 = (1, 2, 3)~~$ et $~~u_2 = (-1, 0, 1)$. $~u_1 = (...

Exercice E19

Soit: $$~E = \left\{~P \in \mathbb R_3[X]: ~~ P(-1) = 0 ~~~\text{ et }~ ~~P(1) = 0~\right\}$$ Montrer que $~E~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb R_3[X]$ Déterminer une base et la dim...

Exercice E18

Soit: $$P_1=X^2+1,~~~ P_2=X^2+X-1,~~~P_3=X^2+X$$ Montrer que la famille $~\left(P_1,P_2,P_3\right)~$ est une base de $~\mathbb R_2[X].$...

Exercice E17

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivants et en déduire leur dimension. $F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 ~~/~~ x - y = 0\right\}~~~$ dans $~\mathbb R^2$. $F_2 = \left\{(x, y,...

Exercice E16

Dans $\mathbb{R}^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3,\vec{e}_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres? $(\vec{e}_1,~2\vec{e}_2,~\vec{e}_3)$; ...

Exercice E15

Dans $~E=\mathcal F(\mathbb{R},\mathbb{R})~$ l'espace vectoriel des fonctions de $~\mathbb{R}~$ dans $~\mathbb R~$. On considère les fonctions: \begin{align*} f~&:~x~\mapsto~\cos(x)\\ g~&:~x~\maps...

Exercice E14

Soient $~a,~b~$ deux réels quelconques. On définit : \begin{align*} f~&:~ x~\mapsto~\sin(x)\\ f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\cos(x+b)\\ \end{align*} Montrer que ces trois f...

Exercice E13

On définit sur $\mathbb R$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C/\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)/AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

On désigne par $E$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $~2~$ de la forme: $$~\left(\begin{array}{cc} a&c \\ 0& b \end{array}\right),~$$ où $~a, b~$ et $~c~$ sont des nombres réels. ...

Soit $(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align} ...

Soient: \[E=\left\{P\in\mathbb R_3[X]/ P(-1)=0\right\}\qquad\text{et}\qquad F = \left\{P\in\mathbb R_2[X]/ P(1-X)=P(X)\right\}\] Montrer que $E$ et $F$ sont des $~~\mathbb R~$- esp...

Soit $\qquad(n\in\mathbb N^\ast~)\qquad\mbox{et} \qquad (~A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)~)$ On pose: \[F=\left\{ M\in\mathcal{M}_n(\mathbb R) / AM=0\right\}\qquad \text{et}\qquad G=\left\{ M\in\...

Dans $E = \mathbb R^3,$ on considère les ensembles: $$F = \{~(x, y, z) ~:~ x + y - z = 0~\} \qquad \text{et}\qquad G = \{~(x, y, z) ~|~ x + y - 2z = 2x - y - z = 0~\}$$ Montrer que $~F~$ et...

Montrer que dans $\mathbb R^2$ les deux vecteurs: $$u = (1, 1, 0),v = (1, 0, 1)$$ engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs: $$x = (1, 3, -2),~~~~y = (1, 4, -3)$$....

Déterminer un système d'équations des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ engendrés par les vecteurs suivants : $~u_1 = (1, 2, 3)$. $~u_1 = (1, 2, 3)$ et $u_2 = (-1, 0, 1)$. $~u_1 = (...

Soit: $$~E = \left\{~P \in \mathbb R_3[X]: P(-1) = 0 ~\text{ et }~ ~~P(1) = 0~\right\}$$ Montrer que $~E~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb R_3[X]$ Déterminer une base et la dim...

Soit: $$P_1=X^2+1,~ P_2=X^2+X-1,~P_3=X^2+X$$ Montrer que la famille $~\left(P_1,P_2,P_3\right)~$ est une base de $~\mathbb R_2[X].$...

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivants et en déduire leur dimension. $F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 / x - y = 0\right\}~~~$ dans $~\mathbb R^2$. $F_2 = \left\{(x, y,...

Soient $~a,~b~$ deux réels quelconques. On définit : \begin{align} f~&:~ x~\mapsto~\sin(x)\\ f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\cos(x+b)\\ \end{align} Montrer que ces trois f...

On considère les ensembles suivants : $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x+y+z=1\right\}$ $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]\text{tel que} P(0)=2\}$ $E_3= \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c ...