Suites et séries numériques - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice SSN 1

Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $b^2 - 4ac Prouver que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$....

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Exercice SSN 2

Justifier que $\forall x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x$$ En déduire : $$\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$$...

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Exercice SSN 3

Calculer la limite des suites de terme général : $a_n = n\left(\sqrt[n]{3} - 1\right)$ $b_n = \left(\dfrac{3^n + 7^n}{2}\right)^{\!\frac{1}{n}}$ $c_n = \dfrac{\lfloor n\sqrt{2} \rfloor}{n...

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Exercice SSN 4

Déterminer un équivalent simple, quand $n$ tend vers $+\infty$, de : $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$ $b_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ $c_n = \sqrt[n]{n} - 1$ $d_n = n^2\left(\cos\d...

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Exercice SSN 5

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}$$ Montrer que ces deux suites son...

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Exercice SSN 6

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$ Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En ...

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Exercice SSN 7

[Constante d'Euler] Justifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{1}{1+x} \leq \ln(1+x) - \ln(x) \leq \frac{1}{x}$$ On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}...

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Exercice SSN 8

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites réelles définies par $(u_0, v_0) \in ]0, +\infty[^2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \qqua...

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Exercice SSN 9

Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$. Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$. ...

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Exercice SSN 10

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente, à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $|u_{n+1} - u_n| \leq \dfrac{1}{2}$, et en dédui...

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Exercice SSN 11

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{7n})$ convergent respectivement vers $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$. En considérant la suite $...

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Exercice SSN 12

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent. Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge....

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Exercice SSN 13

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$....

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Exercice SSN 14

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x \in ]0, +\infty[$ : $$(E_n) : \quad \sum_{k=1}^{n} x^k = 1$$ Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$. ...

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Exercice SSN 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de réels strictement positifs définie par : $$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n}{e}}$$ Exprimer $u_n$ e...

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Exercice SSN 16

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \] converge et calculer sa somme. ...

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Exercice SSN 17

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{4n^2 - 1} \] converge et calculer sa somme. ...

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Exercice SSN 18

Justifier la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \] ...

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Exercice SSN 19

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) \] converge et calculer sa somme....

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Exercice SSN 20

Soit $ (a, b) \in ]0, +\infty[^2 $. Vérifier que \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \] Justifier que \[ \sum_{n \ge 0} \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\righ...

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Exercice SSN 21

Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ tel(s) que la série \[ \sum_{n \ge 1} (\ln n + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2)) \] converge et calculer alors sa somme. Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2...

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Exercice SSN 22

Soit, $u_n = \left( \frac{\ln(n + 1)}{\ln n} \right)^n \quad : n\geq 2 $. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la nature de la série de terme général $ \frac{u_n - 1}{n} $. ...

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Exercice SSN 23

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ (-1)^n n^2 $ $ n \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) $ $ \frac{1}{n} + \ln\left(1 - \frac{1}{n}\right) $ $ n \l...

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Exercice SSN 24

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \sqrt{\sin x} \, dx $ $ \left(\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\right)^2 $ $ \frac{1}{(\ln ...

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Exercice SSN 25

Déterminer les couples $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ pour lesquels la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} \] converge. ...

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Exercice SSN 26

Soient $ a > 0 $ et $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature des séries de terme général : $ \frac{1 + a^n}{n^2} $ $ n a^{\sqrt{n}} $ $ a^n (\ln(n+1) - \ln n) $ ...

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Exercice SSN 27

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converg...

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Exercice SSN 28

Soit $ (u_n) $ une suite à termes positifs. Prouver que les séries de termes généraux $ u_n $ et $ \frac{u_n}{1 + u_n} $ sont de même nature. Prouver que les séries de termes g...

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Exercice SSN 29

Soit $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}^{+*}) $ telle que $ \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $. Calculer $ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} $. Ind...

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Exercice SSN 30

On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_n=\begin{cases} \frac{1}{n} \quad &\text{ si $~n~$ est une puissance entière de 2}\\\\ 0 \quad &\text{ sinon}\end{ca...

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Exercice SSN 31

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Justifier que \[ \int_{k-1}^{k} \ln x \, dx \le \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln x \, dx \] En déduire un équivalent simple de $ \ln(n!) $ quand $n$ t...

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Exercice SSN 32

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n), n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge. ...

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Exercice SSN 33

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}, n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge en utilisant le lien suite-série. ...

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Exercice SSN 34

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes positifs convergentes. Montrer que la série $ \sum \max(u_n, v_n) $ converge. En déduire que $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v...

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Exercice SSN 35

Soit $ \sum u_n $, une série à termes positifs convergente. Montrer que les séries $ \sum u_{2n} $ et $ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} $ convergent. ...

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Exercice SSN 36

Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ \sum_{n \ge 0} a_n $ et $ \s...

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Exercice SSN 37

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes strictement positifs telles que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n} \quad (\text{ou } \forall n \in \mat...

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Exercice SSN 38

Soit $ ~\alpha > 1~ $ et soit: \[ R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}},\quad n \in \mathbb{N}\] Déterminer un équivalent simple de $ R_n $, en l' encadrant par deux i...

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Exercice SSN 39

Soit $ f $ une application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ contractante, c'est-à-dire qu'il existe $ C \in [0, 1[ $ telle que: \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x) - f(y)| \le C|x -...

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Exercice SSN 40

Soit $ \sum_{n \ge 0} u_n $ une série absolument convergente, de somme $ U $. On pose : \[ v_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} 2^k u_k, n \in \mathbb{N} \] Justifier que la série $ ~~\sum_{n \g...

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Exercice SSN 41

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle telle que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n^2$ converge. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n u_{n+1} $ converge. ...

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Exercice SSN 42

Soit $ f \in \mathcal{C}^3([-1, 1], \mathbb{R}) $. et soit: \[ u_n = n \left( f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(-\frac{1}{n}\right) \right) - 2f'(0) : ~~n \in \mathbb{N}^* \] Déterminer la na...

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Exercice SSN 43

Soit: \[ u_n = (-1)^n (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}), n \in \mathbb{N} \] La série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ est-elle convergente ? est-elle absolument convergente? ...

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Exercice SSN 44

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(\frac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \] ...

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Exercice SSN 45

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature des séries: \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha} + (-1)^n} \qquad \text{et} \qquad \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{\alpha} + (-1)^n}} \] ...

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Exercice SSN 46

Soit $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n n^{\alpha} \left( \frac{1}{n} - \sin\left(\frac{1}{n}\right) \right) \] ...

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Exercice SSN 47

Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 0} \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1}) \] ...

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Exercice SSN 48

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right) \] ...

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Exercice SSN 49

Étudier la nature de \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n \sqrt[n]{n} \sin \frac{1}{n} \] ...

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Exercice SSN 50

Étudier la nature de la série complexe \[ \sum_{n \ge 1} \left(1 - \frac{1 - i}{n}\right)^{n^2} \quad \text{où } i^2 = -1 \] ...

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Exercice SSN 51

Question 1 : Pour tout $ \alpha \in \mathbb{R} $ et tout $ \beta > 1 $, montrer que la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(\ln(n))^\alpha}{n^\beta} \] est convergente. Pour cela, on compar...

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Exercice SSN 52

Déterminer la nature des séries dont le terme général suit : $ a_n = 2^{-(\ln(n))^{1/3}} $ $ b_n = (n+1)^{1/n} - n^{1/n} $ $ c_n = \tan\left(\frac{1}{n}\right) - \sin\le...

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Exercice SSN 53

Exercice SSN 53 Étudier la nature des séries dont les termes généraux suivent. Pour $ d_n $ et $ i_n $, calculer la somme. $ a_n = \frac{3^n}{n} $ $ b_n = \frac{n}{3 + \cos(...

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Exercice SSN 54

Soit $ s \in \mathbb{R} $. Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle strictement positive. On fait l'hypothèse : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac...

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Exercice SSN 55

Pour tout $ z \in \mathbb{C} $, déterminer si les sommes suivantes existent et calculer leurs valeurs éventuelles : $ \sum_{n=1}^{+\infty} z^{2n-1} $ $ \sum_{n=0}^{+\infty}...

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Exercice SSN 56

Pour tout $ \alpha > 1 $, exprimer \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)^\alpha} \] en fonction de $ \zeta(\alpha) $. ...

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Exercice SSN 57

On fixe $ (a, b) $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $, on pose \[ u_n = \ln(n) + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2) \] Obtenir un développement asymptotique de $ u_n $ ...

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Exercice SSN 58

Montrer que pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N} $, le nombre \[ u_n = (2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n \] est un entier. En déduire que la série de terme général $ \sin[\pi(2 + \sqrt{3})^n] $ ...

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Exercice SSN 59

Montrer que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{(n!)^{1/n}} \] est convergente. Est-elle absolument convergente ? ...

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Exercice SSN 60

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série de terme général \[ \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) \] ...

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Exercice SSN 61

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \] ...

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Exercice SSN 62

On considère une fonction $ f $ définie sur $ ]0, +\infty[ $, à valeurs réelles, décroissante, convexe, de limite nulle en $ +\infty $. Le théorème des séries alternées permet alors de définir une...

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Exercice SSN 63

Étudier la nature de la série de terme général: \[ u_n = \sin(\pi \sqrt{n^2 + 2n})\] ...

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Exercice SSN 64

Montrer que $~\cos(1)~$ est irrationnel. ...

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Exercice SSN 65 (Centrale 2015)

Soit $ \sum_{n \ge 2} a_n $ une série convergente à termes strictement positifs. Pour tout $ n \ge 2 $, on pose : \[ b_n = -a_n \frac{\ln(a_n)}{\ln n} \] Par une étude de $ x \ma...

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Exercice SSN 1

Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $b^2 - 4ac Prouver que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$....

Exercice SSN 2

Justifier que $\forall x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x$$ En déduire : $$\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$$...

Exercice SSN 3

Calculer la limite des suites de terme général : $a_n = n\left(\sqrt[n]{3} - 1\right)$ $b_n = \left(\dfrac{3^n + 7^n}{2}\right)^{\!\frac{1}{n}}$ $c_n = \dfrac{\lfloor n\sqrt{2} \rfloor}{n...

Exercice SSN 4

Déterminer un équivalent simple, quand $n$ tend vers $+\infty$, de : $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$ $b_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ $c_n = \sqrt[n]{n} - 1$ $d_n = n^2\left(\cos\d...

Exercice SSN 5

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}$$ Montrer que ces deux suites son...

Exercice SSN 6

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$ Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En ...

Exercice SSN 7

[Constante d'Euler] Justifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{1}{1+x} \leq \ln(1+x) - \ln(x) \leq \frac{1}{x}$$ On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}...

Exercice SSN 8

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites réelles définies par $(u_0, v_0) \in ]0, +\infty[^2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \qqua...

Exercice SSN 9

Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$. Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$. ...

Exercice SSN 10

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente, à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $|u_{n+1} - u_n| \leq \dfrac{1}{2}$, et en dédui...

Exercice SSN 11

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{7n})$ convergent respectivement vers $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$. En considérant la suite $...

Exercice SSN 12

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent. Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge....

Exercice SSN 13

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$....

Exercice SSN 14

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x \in ]0, +\infty[$ : $$(E_n) : \quad \sum_{k=1}^{n} x^k = 1$$ Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$. ...

Exercice SSN 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de réels strictement positifs définie par : $$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n}{e}}$$ Exprimer $u_n$ e...

Exercice SSN 16

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \] converge et calculer sa somme. ...

Exercice SSN 17

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{4n^2 - 1} \] converge et calculer sa somme. ...

Exercice SSN 18

Justifier la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \] ...

Exercice SSN 19

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) \] converge et calculer sa somme....

Exercice SSN 20

Soit $ (a, b) \in ]0, +\infty[^2 $. Vérifier que \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \] Justifier que \[ \sum_{n \ge 0} \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\righ...

Exercice SSN 21

Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ tel(s) que la série \[ \sum_{n \ge 1} (\ln n + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2)) \] converge et calculer alors sa somme. Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2...

Exercice SSN 22

Soit, $u_n = \left( \frac{\ln(n + 1)}{\ln n} \right)^n \quad : n\geq 2 $. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la nature de la série de terme général $ \frac{u_n - 1}{n} $. ...

Exercice SSN 23

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ (-1)^n n^2 $ $ n \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) $ $ \frac{1}{n} + \ln\left(1 - \frac{1}{n}\right) $ $ n \l...

Exercice SSN 24

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \sqrt{\sin x} \, dx $ $ \left(\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\right)^2 $ $ \frac{1}{(\ln ...

Exercice SSN 25

Déterminer les couples $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ pour lesquels la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} \] converge. ...

Exercice SSN 26

Soient $ a > 0 $ et $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature des séries de terme général : $ \frac{1 + a^n}{n^2} $ $ n a^{\sqrt{n}} $ $ a^n (\ln(n+1) - \ln n) $ ...

Exercice SSN 27

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converg...

Exercice SSN 28

Soit $ (u_n) $ une suite à termes positifs. Prouver que les séries de termes généraux $ u_n $ et $ \frac{u_n}{1 + u_n} $ sont de même nature. Prouver que les séries de termes g...

Exercice SSN 29

Soit $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}^{+*}) $ telle que $ \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $. Calculer $ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} $. Ind...

Exercice SSN 30

On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_n=\begin{cases} \frac{1}{n} \quad &\text{ si $~n~$ est une puissance entière de 2}\\\\ 0 \quad &\text{ sinon}\end{ca...

Exercice SSN 31

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Justifier que \[ \int_{k-1}^{k} \ln x \, dx \le \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln x \, dx \] En déduire un équivalent simple de $ \ln(n!) $ quand $n$ t...

Exercice SSN 32

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n), n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge. ...

Exercice SSN 33

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}, n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge en utilisant le lien suite-série. ...

Exercice SSN 34

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes positifs convergentes. Montrer que la série $ ~~\sum \max(u_n, v_n) ~~$ converge. En déduire que $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v...

Exercice SSN 35

Soit $ ~~\sum u_n ~~$, une série à termes positifs convergente. Montrer que les séries $~~ \sum u_{2n} ~~$ et $~~ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} ~~$ convergent. ...

Exercice SSN 36

Soient $~~(a_n)$, $~~(b_n)~~$ et $~~(c_n)~~$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ ~~\sum_{n \ge 0} a_n~~ $ et $ ~~\s...

Exercice SSN 37

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes strictement positifs telles que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n} \quad (\text{ou } \forall n \in \mat...

Exercice SSN 38

Soit $ ~\alpha > 1~ $ et soit: \[ R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}},\quad n \in \mathbb{N}\] Déterminer un équivalent simple de $ R_n $, en l' encadrant par deux i...

Exercice SSN 39

Soit $ f $ une application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ contractante, c'est-à-dire qu'il existe $ C \in [0, 1[ $ telle que: \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x) - f(y)| \le C|x -...

Exercice SSN 40

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$ Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En ...

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes positifs convergentes. Montrer que la série $ \sum \max(u_n, v_n) $ converge. En déduire que $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v...

Soit $ \sum u_n $, une série à termes positifs convergente. Montrer que les séries $ \sum u_{2n} $ et $ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} $ convergent. ...

Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ \sum_{n \ge 0} a_n $ et $ \s...

Soit $ \sum_{n \ge 0} u_n $ une série absolument convergente, de somme $ U $. On pose : \[ v_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} 2^k u_k, n \in \mathbb{N} \] Justifier que la série $ ~~\sum_{n \g...

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle telle que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n^2$ converge. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n u_{n+1} $ converge. ...