Nombres complexes - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice N1

Donner la forme algébrique des nombres suivants : $$z_1=\dfrac{3+6i}{3-4i} $$ $$z_2=\left({1+i}\right)^{2023}$$ $$z_3=\left({1-i}\right)^{{2024}}$$ $$z_4=\displaystyle\sum_{k=0}^{2023}{i^k}$...

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Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...

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Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...

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Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...

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Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...

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Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...

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Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...

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Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...

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Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...

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Exercice N10

Soient: $n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

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Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...

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Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...

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Exercice N12bis

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....

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Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...

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Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...

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Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...

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Exercice N16

Soient $~z~$ et $~z'~$ deux nombres complexes non nuls. Montrer l'équivalence \[~\left|z+1\right|=\left|z\right|+1~\Longleftrightarrow ~z\in\mathbb{R}^+\] En déduire que \[~\left|z+z'\right|...

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Exercice N17

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $~M~$ d'affixe $~z~$ vérifiant la relation donnée : $\left|z-2i\right|~=~4$ $\left|z-2i\right|~...

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Exercice N18

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère trois points $~A, B~$ et $~C~$ d'affixes respectifs $~a,~b~$ et $~c.$ Montrer les équivalences suivantes : $ABC~$ est un triangle...

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Exercice N19

Le plan complexe $~\mathcal{P}~$ est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}\right)~$, unité graphique 1 cm. Soit $~A~$ le point d'affixe $~...

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Exercice N20

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $~(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~$, unité graphique : 2~cm. On appelle A le point d'affixe $- 2i$. A tout point $~M~$ du plan d'af...

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Exercice N21

Pour tout nombre complexe $\quad z\quad $ tel que $z \neq 1$, on considère les points $A,\quad M$ et $M'$ d'affixes respectives $~~1,~ z~$ et $~z'~ $ où $~z' = 1 + z^2$. Pour $z \neq 0$ e...

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Exercice N22

Calculer les racines carrées de $~~\frac{1+i}{\sqrt{2}}$. En déduire les valeurs de $\;\cos(\pi/8)\;$ et $\; \sin(\pi/8)$. Calculer les valeurs de $~\cos(\pi/12)~$ et $~\sin(\pi/12)~$. ...

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Exercice N23

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $\; z^2+z+1 = 0$; $z^2-(1+2i)z+i-1 = 0$ ; $z^2-\sqrt{3}z-i = 0$ $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$; $z^2-(3+4i)z-1+5i =0$; $4z^2-2z+1=0$ $z^4...

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Exercice N24

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$z^6=1$$ $$\left(z-1\right)^6+\left(z-1\right)^3+1=0$$ ...

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Exercice N25

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation: $$~~z^2=~\overline{z}$$...

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Exercice N26

Soit $\theta\in[0~;~\pi].$ Résoudre l'équation $~z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta).$ En déduire l'implication : \[z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta)~\Longrightarrow~z^n+\dfrac{1}{z^n}~=~2\cos(n\thet...

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Exercice N27

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation: $$~z^3 = 1$$ montrer que les racines s'écrivent $~1$, $j$, $j^2$. Calculer $1+j+j^2$ et en déduire les racines de la quadratique: $$~~1+z+z^2 =0$$. ...

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Exercice N28

Trouver les racines cubiques de $~(~2-2i~)~$ et de $~(~11+2i~)$. ...

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Exercice N29

Soit $~u~$, une racine septième de l'unité, différente de 1 Calculer: $$\quad u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}$$...

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Exercice N30

On note $~(u_k)_{0\leqslant k\leqslant 4}~$ les racines cinquièmes de l'unité, $~(~u_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}}~)~$. Montrer que : $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=0$$ Montrer que : $~2\cos\left(\frac...

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Exercice N31

On note: $~~z~=~e^{i\frac{2\pi}{7}},~~$ et on pose: $$~U=z+z^2+z^4\qquad \text{et}\qquad V=z^3+z^5+z^6.~$$ Montrer que: $~\overline{U}=V.$ Montrer que: $~\Im(U)>0.$ Calculer: $~U\times V~$ ...

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Exercice N32

Soient $z_1$, $z_2$, $z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer $z_2$ et $z_3$ en fonction de $z_1$. Donner, sous forme polaire, les solutions dans $\mathbb{C}$ de : ...

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Exercice N33

Résoudre les équations trigonométriques suivantes : $~3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)~=~\sqrt{6}$ $~\sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)~=~\sqrt{2}$ $~\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos(x)+\sin(x)~=~-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$ ...

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Exercice N34

En utilisant les nombres complexes, calculer $~\cos 5\theta~$ et $~\sin5\theta~$ en fonction de $~\cos\theta~$ et $~\sin\theta$. ...

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Exercice N35

Soit $~x\in\mathbb{R}\cdot\quad$ Linéariser $~\sin^3(x).~$ En déduire, pour $~n\in\mathbb{N}~$ et $~\theta\in\mathbb{R},~$ la somme: \[S=\sum_{k=0}^n\sin^3(k\theta)\] ...

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Exercice N36

Soit $\mathbb{Z}[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \mathbb{Z} \}$. Montrer que si $~\alpha~$ et $~\beta~$ sont dans $~\mathbb{Z}[i]~$ alors $~\alpha + \beta~$ et $~\alpha\beta~$ le sont aussi. Trouver ...

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Exercice N37

On considère, dans le plan complexe, les points $~A,~B,~M~$ d'affixes respectives $~a,~b,~z$. Déterminer l'ensemble des points $~M~$ tels que $\dfrac{z-a}{z-b}$ ait pour module $~~1$. ...

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Exerice N38

Soit: $~z=1+i\sqrt 3~$ Déterminer le module et un argument de $~z~$. Démontrer que dans le plan complexe, les points images des nombres complexes: $z,~-z,~z^2,~ \text{ et }~ \dfrac{2}{z}~$ appa...

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Exercice N39

Soient $~\mathcal P~$ un plan affine euclidien et $(O,\vec i,\vec j)$ un repère orthonormé directe de $~~\mathcal P$. Soient $~z~$ un nombre complexe différent de $~1~$ et $~M~$ son point image d...

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Exercice N40

Soit $~f~$ l'application de $~\mathbb{C}~$ dans $~\mathbb{C}~$ par: \begin{align*} f:~\mathbb{C}&\longrightarrow \mathbb{C}\\ z&\longrightarrow (i-\sqrt{3})z + 3 + \sqrt{3}+i(2\sqrt 3 + 1) \end{al...

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Exercice N41

Extrait Bac France-Pondichéry 2008 Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $~(O,\vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique $2~$cm, on considère les points $~A,~ B,~ C~$ et $~D~$ d'affixes respect...

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Exercice N42

Bac France-Amérique du Nord mai 2007 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe $z_{\text{A...

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Exercice N43

Bac France-Guadeloupe 1998 On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par : \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \] Calculer $P\left...

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Exercice N44

Soit $u=e^{\frac{2i\pi}{11}}.~$. On pose: $$A=u+u^3+u^4+u^5+u^9\qquad\mbox{ et }\qquad B=u^2+u^6+u^7+u^8+u^{10}.$$ Montrer que $u^{11}=1~$ et que $~\overline{u}=u^{10}.$ Exprimer également le...

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Exercice N45

On considère $f$ l'application définie sur $\mathbb{C}-\{i\}$ : $$f(z)=\frac{z-i}{iz-1}$$ Soient $~M,~A,~B~$ les points d'affixes respectifs $~z,~i,~-i$ Déterminer l'ensemble $E_1$ des points $M...

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Exercice N46

Soit $w$ un nombre complexe tel que: $$w^2+w+1=0$$ Montrer que pour tout complexe $z$ il existe unique $~(a,b)\in \mathbb{R}$ tel que: $$z=a+bw$$ Trouver $(a,b)$ tel que: $$\dfrac{7+5w+3...

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Exercice N47

Etant donnés 3 affixes: $$3 + i,~ 1 - 2i,~ - 2 + 4i$$ représentants les sommets d'un parallélogramme: combien existe t-il de possibilités pour l'affixe du quatrième sommet. Trouver toutes l...

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Exercice N48

Montrer que si trois nombres $~z_1,z_2,z_3~$ dans $\mathbb{C}$ sont alignés si et seulement si il existe trois nombres réels $~(\alpha,\beta,\gamma)~$ non tous nuls tels que: $$\begin{cases} \al...

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Exercice N49

Considérons le sustème d'equations suivantes: $$\begin{cases} \cos x +\cos y=a\\\sin x+\sin y=b \\ \end{cases}$$ où $~~(a,b)\in \mathbb{R}$. Donner une condition nécessaire et suffisante p...

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Exercice N50

Soit $0 Montrer les deux egalités suivantes: $$\sum\limits_{k=1}^n{\cos {k\theta}}=\dfrac{\cos{ \left( \dfrac{n\theta}{2} \right)}~\sin{\left(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\thet...

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Exercice N51

Soient $a,b,c$ trois nombres complexes donnés: Résoudre le système suivants où $(u,v,w)$ sont des nombres complexes inconnus à déterminer. $$\begin{cases} u+v+w=a\\u+jv+j^2w=b \\u+j^2v+jw=c \...

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Exercice N52

Soit $a,b,c$ des nombres réels tels que: $$\cos a + \cos b + \cos c =\sin a +\sin b +\sin c=0$$ Montrer que l'on a également: $$\cos 2a + \cos 2b + \cos 2c =\sin 2a +\sin 2b +\sin 2c=0$$ ...

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Exercice N53

Déterminer l'ensemble des points M d'affixes z tels que: $|(1+i)z-2i|=2$ En donner une interprétation géométrique. ...

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Exercice N54

Soient $(a,b,c)$ trois nombres complexes tels que: $$|a|=|b|=|c|=1$$ Montrer que: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$...

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Exercice N55

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ pour lesquelles le nombre suivant: $$\left(\dfrac{z-i}{z+i} \right)$$ est réel et en donner une interprétation géométrique. ...

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Exercice N56

Soit $\alpha\neq \beta$ deux nombres complexes tels que: $$|\alpha|=|\beta|=1$$ Montrer que le nombre complexe suivant: $$\left(\dfrac{z+\alpha\beta~\overline{z}-(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}\r...

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Exercice N57

Déterminer l'ensemble des points $~M~$ d'affixe $~z~$ pour lesquelles il existe $~x~$ dans $~\Bbb R~$ tel que: $$z=\dfrac{1+ix}{1-ix}$$ ...

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Exercice N58

Montrer que les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si: $$\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{\overline{b}-\overline{a}}{\overline{c}-\overline{a}}$$ Chercher tous les poins M d'affixes $z$...

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Exercice N59

Examen National Session Normale 2020 Soit $~m~$ un nombre complexe non nul. Première partie: On considère dans $~\mathbb{C}~$, l'équation $$~(E):~~z^3-2mz^2+2m^2z-m^3=0$$ Résoudre dans $~\mathb...

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Exercice N60

Examen National 2020, Session de Rattrapage: Soit $~m~$ un nombre réel non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $~\mathbb{C},~$ les deux équations: $$(E):z^2+2z+1+m^2=0\quad ...

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Filtrer par chapitre

Exercice N1

Donner la forme algébrique des nombres suivants : $$z_1=\dfrac{3+6i}{3-4i} $$ $$z_2=\left({1+i}\right)^{2023}$$ $$z_3=\left({1-i}\right)^{{2024}}$$ $$z_4=\displaystyle\sum_{k=0}^{2023}{i^k}$...

Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...

Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...

Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...

Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...

Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...

Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...

Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...

Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...

Exercice N10

Soient: $~~n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $~~|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...

Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...

Exercice N12bis

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....

Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...

Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...

Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...

Exercice N16

Soient $~z~$ et $~z'~$ deux nombres complexes non nuls. Montrer l'équivalence \[~\left|z+1\right|=\left|z\right|+1~\Longleftrightarrow ~z\in\mathbb{R}^+\] En déduire que \[~\left|z+z'\right|...

Exercice N17

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $~M~$ d'affixe $~z~$ vérifiant la relation donnée : $\left|z-2i\right|~=~4$ $\left|z-2i\right|~...

Exercice N18

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère trois points $~A, B~$ et $~C~$ d'affixes respectifs $~a,~b~$ et $~c.$ Montrer les équivalences suivantes : $ABC~$ est un triangle...

Exercice N19

Le plan complexe $~\mathcal{P}~$ est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}\right)~$, unité graphique 1 cm. Soit $~A~$ le point d'affixe $~...

Exercice N20

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $~(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~$, unité graphique : 2~cm. On appelle A le point d'affixe $- 2i$. A tout point $~M~$ du plan d'af...

Exercice N21

Pour tout nombre complexe $\quad z\quad $ tel que $z \neq 1$, on considère les points $~~A,\quad M~~$ et $~~M'~~$ d'affixes respectives $~~1,~ z~$ et $~z'~ $ où $~z' = 1 + z^2$. Pour $z \neq 0$ e...

Exercice N22

Calculer les racines carrées de $~~\frac{1+i}{\sqrt{2}}$. En déduire les valeurs de $\;\cos(\pi/8)\;$ et $\; \sin(\pi/8)$. Calculer les valeurs de $~\cos(\pi/12)~$ et $~\sin(\pi/12)~$. ...

Exercice N23

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $\; z^2+z+1 = 0$; $z^2-(1+2i)z+i-1 = 0$ ; $z^2-\sqrt{3}z-i = 0$ $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$; $z^2-(3+4i)z-1+5i =0$; $4z^2-2z+1=0$ $z^4...

Exercice N24

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$z^6=1$$ $$\left(z-1\right)^6+\left(z-1\right)^3+1=0$$ ...

Exercice N25

Résoudre dans $~~\mathbb{C}~~$ l'équation: $$~~z^2=~\overline{z}$$...

Exercice N26

Soit $\theta\in[0~;~\pi].$ Résoudre l'équation $~z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta).$ En déduire l'implication : \[z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta)~\Longrightarrow~z^n+\dfrac{1}{z^n}~=~2\cos(n\thet...

Exercice N27

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation: $$~z^3 = 1$$ montrer que les racines s'écrivent $~1$, $j$, $j^2$. Calculer $~~1+j+j^2~~$ et en déduire les racines de la quadratique: $$~~1+z+z^2 =0$$. ...

Exercice N28

Trouver les racines cubiques de $~(~2-2i~)~$ et de $~(~11+2i~)$. ...

Exercice N29

Soit $~u~$, une racine septième de l'unité, différente de 1 Calculer: $$\quad u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}$$...

Exercice N30

On note $~(u_k)_{0\leqslant k\leqslant 4}~$ les racines cinquièmes de l'unité, $~(~u_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}}~)~$. Montrer que : $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=0$$ Montrer que : $~2\cos\left(\frac...

Exercice N31

On note: $~~z~=~e^{i\frac{2\pi}{7}},~~$ et on pose: $$~U=z+z^2+z^4\qquad \text{et}\qquad V=z^3+z^5+z^6.~$$ Montrer que: $~\overline{U}=V.$ Montrer que: $~\Im(U)>0.$ Calculer: $~U\times V~$ ...

Exercice N32

Soient $z_1$, $z_2$, $z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer $z_2$ et $z_3$ en fonction de $z_1$. Donner, sous forme polaire, les solutions dans $\mathbb{C}$ de : ...

Exercice N33

Résoudre les équations trigonométriques suivantes : $~3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)~=~\sqrt{6}$ $~\sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)~=~\sqrt{2}$ $~\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos(x)+\sin(x)~=~-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$ ...

Exercice N34

En utilisant les nombres complexes, calculer $~\cos 5\theta~$ et $~\sin5\theta~$ en fonction de $~\cos\theta~$ et $~\sin\theta$. ...

Exercice N35

Soit $~x\in\mathbb{R}\cdot\quad$ Linéariser $~\sin^3(x).~$ En déduire, pour $~n\in\mathbb{N}~$ et $~\theta\in\mathbb{R},~$ la somme: \[S=\sum_{k=0}^n\sin^3(k\theta)\] ...

Exercice N36

Soit $\mathbb{Z}[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \mathbb{Z} \}$. Montrer que si $~\alpha~$ et $~\beta~$ sont dans $~\mathbb{Z}[i]~$ alors $~\alpha + \beta~$ et $~\alpha\beta~$ le sont aussi. Trouver ...

Exercice N37

On considère, dans le plan complexe, les points $~A,~B,~M~$ d'affixes respectives $~a,~b,~z$. Déterminer l'ensemble des points $~M~$ tels que $~~\dfrac{z-a}{z-b}~~$ ait pour module $~~1$. ...

Exerice N38

Soit: $~z=1+i\sqrt 3~$ Déterminer le module et un argument de $~z~$. Démontrer que dans le plan complexe, les points images des nombres complexes: $z,~-z,~z^2,~ \text{ et }~ \dfrac{2}{z}~$ appa...

Exercice N39

Soient: $n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

Pour tout nombre complexe $\quad z\quad $ tel que $z \neq 1$, on considère les points $A,\quad M$ et $M'$ d'affixes respectives $~~1,~ z~$ et $~z'~ $ où $~z' = 1 + z^2$. Pour $z \neq 0$ e...

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation: $$~~z^2=~\overline{z}$$...

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation: $$~z^3 = 1$$ montrer que les racines s'écrivent $~1$, $j$, $j^2$. Calculer $1+j+j^2$ et en déduire les racines de la quadratique: $$~~1+z+z^2 =0$$. ...

On considère, dans le plan complexe, les points $~A,~B,~M~$ d'affixes respectives $~a,~b,~z$. Déterminer l'ensemble des points $~M~$ tels que $\dfrac{z-a}{z-b}$ ait pour module $~~1$. ...

Soient $~\mathcal P~$ un plan affine euclidien et $(O,\vec i,\vec j)$ un repère orthonormé directe de $~~\mathcal P$. Soient $~z~$ un nombre complexe différent de $~1~$ et $~M~$ son point image d...

Soit $w$ un nombre complexe tel que: $$w^2+w+1=0$$ Montrer que pour tout complexe $z$ il existe unique $~(a,b)\in \mathbb{R}$ tel que: $$z=a+bw$$ Trouver $(a,b)$ tel que: $$\dfrac{7+5w+3...

Montrer que si trois nombres $~z_1,z_2,z_3~$ dans $\mathbb{C}$ sont alignés si et seulement si il existe trois nombres réels $~(\alpha,\beta,\gamma)~$ non tous nuls tels que: $$\begin{cases} \al...

Soient $(a,b,c)$ trois nombres complexes tels que: $$|a|=|b|=|c|=1$$ Montrer que: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$...

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ pour lesquelles le nombre suivant: $$\left(\dfrac{z-i}{z+i} \right)$$ est réel et en donner une interprétation géométrique. ...

Soit $\alpha\neq \beta$ deux nombres complexes tels que: $$|\alpha|=|\beta|=1$$ Montrer que le nombre complexe suivant: $$\left(\dfrac{z+\alpha\beta~\overline{z}-(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}\r...

Montrer que les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si: $$\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{\overline{b}-\overline{a}}{\overline{c}-\overline{a}}$$ Chercher tous les poins M d'affixes $z$...