Structures algébriques - Exercices Corrigés Bac Marocain

Exercice S35

On note: $$\mathbb Q[\sqrt 2]=\left\lbrace a+b\sqrt 2:\quad (a,b)\in \mathbb Q^2\right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Q[\sqrt 2],+,\times)$ est un corps. Soit $~K~$ un corps tel que: $~~K\s...

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Exercice S34

Soit $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$; on rappelle que: $$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$ Montrer que...

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Exercice S33

On note: $$\mathbb Z_i =\left\lbrace~\frac{a}{b}\qquad \text{avec:}(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* \text{et $b$ un entier impair} ~ \right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Z_i ,+,\t...

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Exercice S32

On définit sur $J = [1,+\infty[$ la loi $~\bot~$ définie par : $$a\bot b = (\sqrt a +\sqrt b -1)^2$$ Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $~J~$. Montrer que $~\bot~$...

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Exercice S31

Sur $ I=]1, + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$ Démontrer que $a^2b^2-a^2-b^2+2=(a^2-1)(b^2-1)+1$ Montrer que $\ast$ est une loi de c...

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Exercice S30

On considère l’ensemble $G$ des applications $f_{a,b}$ de $\mathbb C$ vers $\mathbb C$; telles que : $$f_{a,b}(z)=az+b$$ où $~~ a\in\{1,-1,i,-i\}\qquad b=p+iq\qquad \text{avec}\qqua...

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Exercice S29

On considère l’ensemble $G$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\dfrac{1}{1-x^2}~\begin{pmatrix} 1&x\\x&1 \end{pmatrix} \qquad \text{où}x~\in~]~-1~,~1~[$$ Montrer que $~~(G,\time...

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Exercice S28

On considère l’ensemble $F$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha} \end{pmatrix}$$ Montrer que $~~(F,\ti...

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Exercice S27

On considère l’ensemble $E$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\begin{pmatrix} a&b\\1-a&1-b \end{pmatrix} \text{où}(a,b)\in\mathbb C^2$$ Montrer que $~E~$ est stable pour la mult...

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Exercice S26

On note: $$G=\{~ a+b\sqrt 3,(a,b)\in \mathbb{Z}^2,/ ~~a^2-3b^2=1~\}$$ Montrer que $G\subset \mathbb R^*$ Montrer que $(G,\times)$ est un sous groupe de $(\mathbb R^\ast,\times~~)$ ...

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Exercice S25

Soit $(A,+,\times)$ un anneau unitaire. Un élément $~a~$ est dit nilpotent s'il existe $~n\in \mathbb N^\ast ~$ tel que: $~a^n=0$ Le plus petit entier $n\ge 1$ pour lequel $~a^n=0~$ est appelé indic...

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Exercice S24

On se propose de montrer qu'il existe aucun morphisme d'anneaux entre $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times )$ vers $~~(~\mathbb Z[\sqrt 3],+,\times~)~~$. Pour ce faire on raisonne par l'absurde. Soit $f...

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Exercice S23

Soit G un groupe et A une partie non vide de $~G$. On appelle sous groupe engendré par $~A~$ le plus plus petit sous groupe contenant $~A$. Soit $~x\in G$. Démontrer que le groupe engendré par $...

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Exercice S22

Partie A: On considère l'ensemble $$\mathcal A=\left\lbrace A_{a,b}= \begin{pmatrix} a&2b\\b&a \end{pmatrix}: \quad (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \right\rbrace$$ On munit $~\mathcal{A}~$ de l'additio...

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Exercice S21

On considère $\mathcal{M}$ le sous ensemble des matrices des matrices carrés réelles : $$\mathcal{M}=\left\lbrace A_{a,b}=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:\quad(a,b)\in \mathbb{R}^2\right\rbrace...

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Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...

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Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...

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Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...

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Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $n\mathbb Z$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

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Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $A$ est un anneaux commutatif M...

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Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G$ tel que: $...

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Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...

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Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB \text{est un so...

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Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^\times R} \text{ et }G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

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Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...

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Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...

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Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...

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Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...

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Exercice S7

Soit $~(G,\ast )~$ un groupe et $~a\in G~$. On définit les applications définies sur $~G~$ par: $$f(x)=a\ast x \text{et} g(x)=x\ast a$$ Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives. On ...

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Exercice S6

Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\ \end{pmatrix}$$ ...

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Exercice S5

On définit sur $\mathbb R$ la loi $~\ast~$ par : \[ x\ast~y~=~xy+ \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\qquad \forall (x~,~y)\in \mathbb R^2. \] $\ast~$ est-elle commutative ? associative ? ...

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Exercice S5

On pose $~E~=~\left]-1~;~1\right[.~$ On définie sur $~E~$ la loi $\mathbb{T}$ par : \[ x\mathbb{T}~y~=~\dfrac{x+y}{1+xy}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in E^2. \] Montrer que $~\mathbb{T}~$ est...

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Exercice S4

On définie sur $~I=\left]1~;~+\infty\right[~$ la loi $\bot$ par : \[ x~\bot~y~=~\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in I^2. \] Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition i...

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Exercice S3

Soit $~\ast~$ la loi de composition interne définie sur $~\mathbb Z~$ par: \[ x\ast~y~=~x+y-2\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in\mathbb Z^2 \] Montrer que $~\ast~$ est commutative et associative d...

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Exercice S2

On note $~E~$ l'ensemble: $~E=\{0,1,2,3,4,5\}$. On définit dans $~E~$ une loi $~\ast~$ de la manière suivante : pour tout couple $~(a,b)~$ d'éléments de $~E~$, $(~a~\ast~b~)~$ est le reste de la di...

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Exercice S1

Les questions sont indépendantes. La division est-elle une loi de composition interne dans l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs ? Dans l'ensemble $\mathbb Q^*$ des nombres rationnels ...

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Exercice S35

On note: $$\mathbb Q[\sqrt 2]=\left\lbrace a+b\sqrt 2:\quad (a,b)\in \mathbb Q^2\right\rbrace$$ Montrer que $~~(\mathbb Q[\sqrt 2],+,\times)~~$ est un corps. Soit $~K~$ un corps tel que: $~~K\s...

Exercice S34

Soit $~~j = e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$; on rappelle que: $$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$ Montrer que...

Exercice S33

On note: $$\mathbb Z_i =\left\lbrace~~~\frac{a}{b}\qquad \text{avec:}~~(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* ~~\text{et $~~b~~$ un entier impair} ~~~ \right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Z_i ,+,\t...

Exercice S32

On définit sur $~~J = [1,+\infty[~~$ la loi $~\bot~$ définie par : $$a\bot b = (\sqrt a +\sqrt b -1)^2$$ Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $~J~$. Montrer que $~\bot~$...

Exercice S31

Sur $~~ I=]1,~~ + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$ Démontrer que $~~a^2b^2-a^2-b^2+2~~=(a^2-1)(b^2-1)+1$ Montrer que $~~\ast~~$ est une loi de c...

Exercice S30

On considère l’ensemble $~~G~~$ des applications $~~f_{a,b}~~$ de $~~\mathbb C~~$ vers $~~\mathbb C~~$; telles que : $$f_{a,b}(z)=az+b$$ où $~~ a\in\{1,-1,i,-i\}\qquad b=p+iq\qquad \text{avec}\qqua...

Exercice S29

On considère l’ensemble $~~G~~$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\dfrac{1}{1-x^2}~\begin{pmatrix} 1&x\\x&1 \end{pmatrix} ~~\qquad \text{où}~~x~\in~]~-1~,~1~[$$ Montrer que $~~(G,\time...

Exercice S28

On considère l’ensemble $F$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha} \end{pmatrix}$$ Montrer que $~~(F,\ti...

Exercice S27

On considère l’ensemble $E$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\begin{pmatrix} a&b\\1-a&1-b \end{pmatrix} ~~\text{où}~~(a,b)\in\mathbb C^2$$ Montrer que $~E~$ est stable pour la mult...

Exercice S26

On note: $$G=\{~ a+b\sqrt 3,~~(a,b)\in \mathbb{Z}^2,~~/ ~~a^2-3b^2=1~\}$$ Montrer que $~~G\subset \mathbb R^*$ Montrer que $~~(G,\times)~~$ est un sous groupe de $(~~\mathbb R^\ast,\times~~)$ ...

Exercice S25

Soit $(A,+,\times)$ un anneau unitaire. Un élément $~a~$ est dit nilpotent s'il existe $~n\in \mathbb N^\ast ~$ tel que: $~a^n=0$ Le plus petit entier $n\ge 1$ pour lequel $~a^n=0~$ est appelé indic...

Exercice S24

On se propose de montrer qu'il existe aucun morphisme d'anneaux entre $(~~\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times ~~)$ vers $~~(~\mathbb Z[\sqrt 3],+,\times~)~~$. Pour ce faire on raisonne par l'absurde. Soit $f...

Exercice S23

Soit G un groupe et A une partie non vide de $~G$. On appelle sous groupe engendré par $~A~$ le plus plus petit sous groupe contenant $~A$. Soit $~x\in G$. Démontrer que le groupe engendré par $...

Exercice S22

Partie A: On considère l'ensemble $$\mathcal A=\left\lbrace A_{a,b}= \begin{pmatrix} a&2b\\b&a \end{pmatrix}: \quad (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \right\rbrace$$ On munit $~\mathcal{A}~$ de l'additio...

Exercice S21

On considère $\mathcal{M}$ le sous ensemble des matrices des matrices carrés réelles : $$\mathcal{M}=\left\lbrace A_{a,b}=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:\quad(a,b)\in \mathbb{R}^2\right\rbrace...

Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...

Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...

Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...

Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $~~n\mathbb Z~~$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $~~A~~$ est un anneaux commutatif M...

Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G~~$ tel que: $~~...

Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...

Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $~~A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB~~ \text{est un so...

Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^*\times R}~~ \text{ et }~~G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align*}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...

Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...

Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...

Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...

Exercice S7

Soit $~(G,\ast )~$ un groupe et $~a\in G~$. On définit les applications définies sur $~G~$ par: $$f(x)=a\ast x ~~ \text{et}~~ g(x)=x\ast a$$ Montrer que $~~f~~$ et $~~g~~$ sont bijectives. On ...

Exercice S6

Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\ \end{pmatrix}$$ ...

Exercice S5

On définit sur $~~\mathbb R~~$ la loi $~\ast~$ par : \[ x\ast~y~=~xy+ \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\qquad \forall (x~,~y)\in \mathbb R^2. \] $\ast~$ est-elle commutative ? associative ? ...

Exercice S5

On pose $~E~=~\left]-1~;~1\right[.~$ On définie sur $~E~$ la loi $\mathbb{T}$ par : \[ x\mathbb{T}~y~=~\dfrac{x+y}{1+xy}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in E^2. \] Montrer que $~\mathbb{T}~$ est...

Exercice S4

On définie sur $~I=\left]1~;~+\infty\right[~$ la loi $\bot$ par : \[ x~\bot~y~=~\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in I^2. \] Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition i...

Exercice S3

Soit $~\ast~$ la loi de composition interne définie sur $~\mathbb Z~$ par: \[ x\ast~y~=~x+y-2\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in\mathbb Z^2 \] Montrer que $~\ast~$ est commutative et associative d...

Exercice S2

On note $~E~$ l'ensemble: $~E=\{0,1,2,3,4,5\}$. On définit dans $~E~$ une loi $~\ast~$ de la manière suivante : pour tout couple $~(a,b)~$ d'éléments de $~E~$, $(~a~\ast~b~)~$ est le reste de la di...

Exercice S1

Les questions sont indépendantes. La division est-elle une loi de composition interne dans l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs ? Dans l'ensemble $\mathbb Q^*$ des nombres rationnels ...

On note: $$\mathbb Q[\sqrt 2]=\left\lbrace a+b\sqrt 2:\quad (a,b)\in \mathbb Q^2\right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Q[\sqrt 2],+,\times)$ est un corps. Soit $~K~$ un corps tel que: $~~K\s...

Soit $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$; on rappelle que: $$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$ Montrer que...

On note: $$\mathbb Z_i =\left\lbrace~\frac{a}{b}\qquad \text{avec:}(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* \text{et $b$ un entier impair} ~ \right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Z_i ,+,\t...

On définit sur $J = [1,+\infty[$ la loi $~\bot~$ définie par : $$a\bot b = (\sqrt a +\sqrt b -1)^2$$ Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $~J~$. Montrer que $~\bot~$...

Sur $ I=]1, + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$ Démontrer que $a^2b^2-a^2-b^2+2=(a^2-1)(b^2-1)+1$ Montrer que $\ast$ est une loi de c...

On considère l’ensemble $G$ des applications $f_{a,b}$ de $\mathbb C$ vers $\mathbb C$; telles que : $$f_{a,b}(z)=az+b$$ où $~~ a\in\{1,-1,i,-i\}\qquad b=p+iq\qquad \text{avec}\qqua...

On considère l’ensemble $G$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\dfrac{1}{1-x^2}~\begin{pmatrix} 1&x\\x&1 \end{pmatrix} \qquad \text{où}x~\in~]~-1~,~1~[$$ Montrer que $~~(G,\time...

On considère l’ensemble $E$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\begin{pmatrix} a&b\\1-a&1-b \end{pmatrix} \text{où}(a,b)\in\mathbb C^2$$ Montrer que $~E~$ est stable pour la mult...

On note: $$G=\{~ a+b\sqrt 3,(a,b)\in \mathbb{Z}^2,/ ~~a^2-3b^2=1~\}$$ Montrer que $G\subset \mathbb R^*$ Montrer que $(G,\times)$ est un sous groupe de $(\mathbb R^\ast,\times~~)$ ...

On se propose de montrer qu'il existe aucun morphisme d'anneaux entre $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times )$ vers $~~(~\mathbb Z[\sqrt 3],+,\times~)~~$. Pour ce faire on raisonne par l'absurde. Soit $f...

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $n\mathbb Z$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $A$ est un anneaux commutatif M...

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G$ tel que: $...

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB \text{est un so...

Soient: $E=\mathbb{R^\times R} \text{ et }G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

Soit $~(G,\ast )~$ un groupe et $~a\in G~$. On définit les applications définies sur $~G~$ par: $$f(x)=a\ast x \text{et} g(x)=x\ast a$$ Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives. On ...

On définit sur $\mathbb R$ la loi $~\ast~$ par : \[ x\ast~y~=~xy+ \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\qquad \forall (x~,~y)\in \mathbb R^2. \] $\ast~$ est-elle commutative ? associative ? ...