Réduction des endomorphimes - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice RedEndo 1

Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'endomophisme $f$ de $\mathbb{R}[X]$ défini par : \[ f(P) = (X+1)(X-3)P' - XP \] Indication : On pourra examiner les termes de plus haut degr...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 2

Exercice 2 Déterminer les valeurs propres et des bases des sous-espaces propres des endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatri...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 3

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} .\] Déterminer les valeurs propres de $A$ et une base de chaque sous-espace propre. A est-elle diagonalisable? J...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 4

Exercice 4 Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1 pour seule valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant une unique valeur propre ? La...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 5

Soit $ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ Chercher les valeurs propres et vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice de passage dia...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 6

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} \] Déterminer les valeurs propres de $A$ Diagonaliser $A$ ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 7

On donne: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{pmatrix...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 8

On désinge par $\Delta$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par: \[\Delta(P) = P(X) - P(X-1).\] Décrire le noyau et l'image de $\Delta$. Donner le spectre de $\Delta$ et préciser si c'...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 9

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par : \[ f\left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Montrer que $...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 10

Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. On dit qu'une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ est nilpotente s'il existe un entier $ p \in \mathbb{N}^* $ tel que $ A^p = 0 $. Montrer que les propriétés suiv...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 11

Soit $ E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ et soit u l'endomorphisme de $E$ définit par: \begin{align} u: E &\longrightarrow E\\ A&\longmapsto A^{T} \end{align} Montrer que $u$ est diagonalisable...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 12

Soit : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} .\] Montrer que $ A $ et $ B $ sont semblables....

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 13

Soient: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}~ ; ~B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~;~C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 14

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculer $ A^n. $ Diagonaliser, $ A $. En déduire $ A^n $ où $ n \in \mathbb{N}$ ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 15

Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser $ A$: \[A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} .\] Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser, les m...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 16

Soit: $~ u_0 = 1 ~;~ v_0 = 1~ ;~ w_0 = -1 $. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on définit : \[ \begin{cases} u_{n+1} = 2u_n + 3v_n - 3w_n \\ v_{n+1} = -u_n + w_n \\ w_{n+1} = -u_n + v_n \end{cases}...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 17

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $ vérifiant : \[ f^3 - f^2 + f - \text{id}_E = 0 \] Que dire des valeurs propres de $ f $ ? On distinguera le...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 18

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et soit $ f \in \mathcal{L}(E).$ Et soit, $~ P = \sum_{k=0}^n a_k X^k,~$ un élément de $ \mathbb{K}[X]. $ On note $ P(f) $ l'endom...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 19

Soit $ x \in \mathbb{R} $. Soit $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ définie par: \[ a_{i,i} = x \quad \text{et} \quad a_{i,j} = 1 \quad \text{ si }\quad i \ne j \] $ A $ est-elle d...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 20

Soit: \[A = \begin{pmatrix}11&-5&5\\ -5&3&-3\\ 5&-3&3\end{pmatrix}\] Trouver toutes les matrices $~B~$ de taille 3 telles que $~B^{2}=A$ Indication : diagonaliser $A$ ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 21

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ puis trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \]...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 22

Dans l'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, on considère les matrices $A$ et $M$ vérifiant : \[ A^{3}=-A \qquad ; \qquad \text{rg}(A)=2 \qquad \text{et} \qquad M=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 23

Soient, $a$ un réel donné, $E=\mathbb{R}_{n}[X]~$ et $~f~$ l'application définie sur $~E~$ par : \[ f(P)=(X-a)(P^{\prime}+P^{\prime}(a))-2(P-P(a)) \] Vérifier que $f$ est bien un endomorphisme ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 24

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $~A~$ la matrice d'ordre $n$ définie par: \begin{cases} a_{i,1}&=1 \\ a_{n,j}&=1 \text{ si } \\ a_{i,j}&=0 \quad \text{ si } j\ne 1 ~\text{ et }~ i\ne n \...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 25

Pour tout triplet $(a,b,c)\in\mathbb{C}^{3}$, on considère la matrice : \[ M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix} \] Montrer que les matrices $M(a,b,c)$ commutent entre ell...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 26

Trigonaliser les matrices suivantes : \[ A=\begin{pmatrix}5&-4&-3\\ 2&-1&-1\\ 1&-1&0\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}7&-6&-2\\ 2&0&-1\\ 2&-3&2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix}1&1&-2&0\\ 2&1&0...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 27

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : \begin{cases} u_{0}&=1 \quad ; \quad u_{1}=-1 \quad ; \quad u_{2}=0 \\\\ u_{n+3}&=7u_{n+1}-6u_{n} \end{cases} Exprimer $u_{n}$ en fonction ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 28

Soient : \[ A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\ 0&2&-1\\ -3&-2&3\end{pmatrix} \] Montrer que $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs prop...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 29

Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ tel que: \begin{cases} u^{3}&=0 \\ u^{2}&\ne 0 \end{cases} Montrer qu'il existe une base dans laquelle $u$ a pour matrice : \[ \begin{pma...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 30

Diagonaliser les matrices suivantes : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \beg...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 31

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\] Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable. Calculer $A^k$ pou...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 32

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}.\] Étudier la diagonalisabilité de $A$. déterminer son polynôme caractéristique, calculer $\exp(A)$. Propos...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 33

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 34

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 35

Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & & (0) \\ \vdots & & \ddots & \\ 1 & (0) & & 1 \end{pmatrix} \] Déterminer les valeurs propres de la matrice ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 36

Soit, $A=(a_{ij})$, la matrice carré d'ordre $n$ définie par : \begin{cases} a_{ij} = 1 \text{ si } |i - j| = 1 \\ \\a_{ij} = 0 ~\text{ sinon} \end{cases} Diagonaliser $A$...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 37

Soit $J\in \mathcal{M}_{p,q}(\Bbb R)$ avec: \[J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \cdot & \cdot & \cdots \cdots & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot &\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cd...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 38

Soit: \begin{align} \Phi : \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X] \\ P &\longmapsto (1 - X^2)P' + nXP \end{align} Montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\Phi$. (On note $\Phi_...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 39

Dans $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$, on définit l'application : \begin{align} T: E &\longrightarrow E\\ f & \longmapsto T(f) :~\begin{cases} T(f)(0)&= f(0) \\ T(f)(x) &= \frac{1}{x} \int\l...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 40

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres. Montrer que si l'une au moins des matrices $A,~B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ on...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 41

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 42

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. On suppose qu'il existe $x_0 \in E$ et $p \in \mathbb{N}$ tels que $(x_0, f(x_0), \dots, f^{p-1}(x_0))$ soit une famille...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 43

Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes diagonalisables qui commutent. Montrer qu'il existe une base commune de diagonalisation (on dit que $f$ et $g$ sont simultanément diagonalisables)....

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 44

Montrer que pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on: \[\det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{tr}(A))\] indication : utiliser la trigonalisation...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 45

Déterminer les valeurs propres de la matrice $A$ définie par: \[A= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \math...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 46

Soient $n \ge 3$, et: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & & (0) & 1 \\ 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 1 & (0) & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$ Soit $f$ l'endomorphisme ...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 47

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

Réduction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Filtrer par chapitre

Exercice RedEndo 1

Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'endomophisme $f$ de $\mathbb{R}[X]$ défini par : \[ f(P) = (X+1)(X-3)P' - XP \] Indication : On pourra examiner les termes de plus haut degr...

Exercice RedEndo 2

Exercice 2 Déterminer les valeurs propres et des bases des sous-espaces propres des endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatri...

Exercice RedEndo 3

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} .\] Déterminer les valeurs propres de $A$ et une base de chaque sous-espace propre. A est-elle diagonalisable? J...

Exercice RedEndo 4

Exercice 4 Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1 pour seule valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant une unique valeur propre ? La...

Exercice RedEndo 5

Soit $ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ Chercher les valeurs propres et vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice de passage dia...

Exercice RedEndo 6

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} \] Déterminer les valeurs propres de $A$ Diagonaliser $A$ ...

Exercice RedEndo 7

On donne: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{pmatrix...

Exercice RedEndo 8

On désinge par $\Delta$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par: \[\Delta(P) = P(X) - P(X-1).\] Décrire le noyau et l'image de $\Delta$. Donner le spectre de $\Delta$ et préciser si c'...

Exercice RedEndo 9

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par : \[ f\left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Montrer que $...

Exercice RedEndo 10

Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. On dit qu'une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ est nilpotente s'il existe un entier $ p \in \mathbb{N}^* $ tel que $ A^p = 0 $. Montrer que les propriétés suiv...

Exercice RedEndo 11

Soit $ E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ et soit u l'endomorphisme de $E$ définit par: \begin{align} u: E &\longrightarrow E\\ A&\longmapsto A^{T} \end{align} Montrer que $u$ est diagonalisable...

Exercice RedEndo 12

Soit : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} .\] Montrer que $ A $ et $ B $ sont semblables....

Exercice RedEndo 13

Soient: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}~ ; ~B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~;~C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1...

Exercice RedEndo 14

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculer $ A^n. $ Diagonaliser, $ A $. En déduire $ A^n $ où $ n \in \mathbb{N}$ ...

Exercice RedEndo 15

Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser $ A$: \[A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} .\] Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser, les m...

Exercice RedEndo 16

Soit: $~ u_0 = 1 ~;~ v_0 = 1~ ;~ w_0 = -1 $. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on définit : \[ \begin{cases} u_{n+1} = 2u_n + 3v_n - 3w_n \\ v_{n+1} = -u_n + w_n \\ w_{n+1} = -u_n + v_n \end{cases}...

Exercice RedEndo 17

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $ vérifiant : \[ f^3 - f^2 + f - \text{id}_E = 0 \] Que dire des valeurs propres de $ f $ ? On distinguera le...

Exercice RedEndo 18

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et soit $ f \in \mathcal{L}(E).$ Et soit, $~ P = \sum_{k=0}^n a_k X^k,~$ un élément de $ \mathbb{K}[X]. $ On note $ P(f) $ l'endom...

Exercice RedEndo 19

Soit $ x \in \mathbb{R} $. Soit $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ définie par: \[ a_{i,i} = x \quad \text{et} \quad a_{i,j} = 1 \quad \text{ si }\quad i \ne j \] $ A $ est-elle d...

Exercice RedEndo 20

Soit: \[A = \begin{pmatrix}11&-5&5\\ -5&3&-3\\ 5&-3&3\end{pmatrix}\] Trouver toutes les matrices $~B~$ de taille 3 telles que $~B^{2}=A$ Indication : diagonaliser $A$ ...

Exercice RedEndo 21

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ puis trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \]...

Exercice RedEndo 22

Dans l'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, on considère les matrices $A$ et $M$ vérifiant : \[ A^{3}=-A \qquad ; \qquad \text{rg}(A)=2 \qquad \text{et} \qquad M=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-...

Exercice RedEndo 23

Soient, $a$ un réel donné, $E=\mathbb{R}_{n}[X]~$ et $~f~$ l'application définie sur $~E~$ par : \[ f(P)=(X-a)(P^{\prime}+P^{\prime}(a))-2(P-P(a)) \] Vérifier que $f$ est bien un endomorphisme ...

Exercice RedEndo 24

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $~A~$ la matrice d'ordre $n$ définie par: \begin{cases} a_{i,1}&=1 \\ a_{n,j}&=1 \text{ si } \\ a_{i,j}&=0 \quad \text{ si } j\ne 1 ~\text{ et }~ i\ne n \...

Exercice RedEndo 25

Pour tout triplet $(a,b,c)\in\mathbb{C}^{3}$, on considère la matrice : \[ M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix} \] Montrer que les matrices $M(a,b,c)$ commutent entre ell...

Exercice RedEndo 26

Trigonaliser les matrices suivantes : \[ A=\begin{pmatrix}5&-4&-3\\ 2&-1&-1\\ 1&-1&0\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}7&-6&-2\\ 2&0&-1\\ 2&-3&2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix}1&1&-2&0\\ 2&1&0...

Exercice RedEndo 27

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : \begin{cases} u_{0}&=1 \quad ; \quad u_{1}=-1 \quad ; \quad u_{2}=0 \\\\ u_{n+3}&=7u_{n+1}-6u_{n} \end{cases} Exprimer $u_{n}$ en fonction ...

Exercice RedEndo 28

Soient : \[ A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\ 0&2&-1\\ -3&-2&3\end{pmatrix} \] Montrer que $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs prop...

Exercice RedEndo 29

Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ tel que: \begin{cases} u^{3}&=0 \\ u^{2}&\ne 0 \end{cases} Montrer qu'il existe une base dans laquelle $u$ a pour matrice : \[ \begin{pma...

Exercice RedEndo 30

Diagonaliser les matrices suivantes : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \beg...

Exercice RedEndo 31

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\] Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable. Calculer $A^k$ pou...

Exercice RedEndo 32

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}.\] Étudier la diagonalisabilité de $A$. déterminer son polynôme caractéristique, calculer $\exp(A)$. Propos...

Exercice RedEndo 33

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

Exercice RedEndo 34

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

Exercice RedEndo 35

Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & & (0) \\ \vdots & & \ddots & \\ 1 & (0) & & 1 \end{pmatrix} \] Déterminer les valeurs propres de la matrice ...

Exercice RedEndo 36

Soit, $A=(a_{ij})$, la matrice carré d'ordre $n$ définie par : \begin{cases} a_{ij} = 1 \text{ si } |i - j| = 1 \\ \\a_{ij} = 0 ~\text{ sinon} \end{cases} Diagonaliser $A$...

Exercice RedEndo 37

Soit $J\in \mathcal{M}_{p,q}(\Bbb R)$ avec: \[J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \cdot & \cdot & \cdots \cdots & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot &\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cd...

Exercice RedEndo 38

Soit: \begin{align} \Phi : \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X] \\ P &\longmapsto (1 - X^2)P' + nXP \end{align} Montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\Phi$. (On note $\Phi_...

Exercice RedEndo 39

Dans $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$, on définit l'application : \begin{align} T: E &\longrightarrow E\\ f & \longmapsto T(f) :~\begin{cases} T(f)(0)&= f(0) \\ T(f)(x) &= \frac{1}{x} \int\l...

Exercice RedEndo 40