Espaces vectoriels normés - Exercices Corrigés Bac & Lycée | Mathématiques-Bac.org

Exercice EVN1

Inégalité dans un espace vectoriel normé Soient $ (E, \| \cdot \|) $ un evn et $ (a,b,c,d) \in E^4 $. Montrer que: \[\|a-b\| + \|c-d\| \leq \|a-c\| + \|b-d\| + \|a-d\| + \|b-c\| \]...

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Exercice EVN2

Norme sur un espace de fonctions Soit $ E = \mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R}) $. On pose, pour tout $ f \in E $: \[N(f)=\left(f(1/2)^2+\int_0^1{e^xf'(t)^2\,dx}\right)^{\frac{1}{2}}\] Prouver que $ ...

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Exercice EVN3

Norme sur l'espace des polynômes On pose, pour tout $ P \in \mathbb{R}_{n}[X] $ : \[ N(P) = \left( \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \] Prouver que $ N $ est une norm...

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Exercice EVN4

Norme et dérivées Soit $ E = \left\{ f \in \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) \mid f(0) = f'(0) = 0 \right\} $. Vérifier que $ E $ est un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel. On note, pour $ ...

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Exercice EVN5

Norme sur l'espace des matrices Si $ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $, on pose : \[ \|A\| = \max_{i \in \{1,\dots,n\}} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| \] Vérifier que $ \| \cdot \| $ est ...

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Exercice EVN6

Inexistence de norme commutative Soit $ n $ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il n'existe pas de norme $ N $ sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \forall(A,B) \in \mathcal{M...

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Exercice EVN7

Comparaison de normes intégrales Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $. Pour $ f \in E $, on note : \[ N(f) = \int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt \] et on rappelle que : \[ \|f\|_{1} = \int_{0}^{1} ...

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Exercice EVN8

Normes sur un espace de fonctions de classe C² Si $ u \in \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $, on pose : $ \|u\|_{\infty} = \max_{x \in [0,1]} |u(x)| $. On rappelle que $ \|\cdot\|_{\infty} $ est une...

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Exercice EVN9

Normes sur l'espace des polynômes Soit $ E = \mathbb{R}[X] $. Pour tout $ P = \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} $, on pose : \[ N_{1}(P) = \sum_{k=0}^{n} |a_{k}| \] et \[ N_{2}(P) = \max_{t \in [0,1]} |P(...

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Exercice EVN10

Limite de puissances de matrices Soit $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver qu'il existe $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \lim_{p \rightarrow +\infty} A^{p} = L \] si e...

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Exercice EVN11

Convergence de puissances de matrices Soit $ A \in \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que la suite $ (A^{p})_{p \in \mathbb{N}} $ converge vers $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver que $...

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Exercice EVN12

Égalité de normes Soient $ E $ un evn et $ N_{1} $ et $ N_{2} $ deux normes sur $ E $. Soient $ a \in E $ et $ r > 0 $ tels que les deux boules fermées de centre $ a $ et de rayon $ r $ pour $ N_{1}...

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Exercice EVN13

Partie fermée Montrer de deux façons différentes que $ \mathbb{Z} $ est une partie fermée de $ \mathbb{R} $....

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Exercice EVN14

Ouverts et fermés usuels Montrer que $ A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \right\} $ est un fermé de $ \mathbb{R}^{2} $, que $ B = \left\{ (x,y) \in \math...

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Exercice EVN15

Parties fermées dans un espace de fonctions On munit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ de la norme infinie. Montrer que $ A = \{ f \in E \mid f(0) = 1 \} $ est une partie fermée de $ E...

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Exercice EVN16

Ouverts selon les normes Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ et $ A = \{ f \in E \mid f(0) > 0 \} $. Montrer que $ A $ est un ouvert de l'evn $ (E, \|\cdot\|_{\infty}) $. Pour ...

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Exercice EVN17

Topologie des sous-espaces de matrices L'ensemble $ \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) $ des matrices symétriques de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ est-il une partie fermée ? Une partie bornée de $ \mathca...

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Exercice EVN18

Combinaisons convexes Soient $ E $ un espace vectoriel et $ A $ une partie convexe de $ E $. Soit $ (u_{1},u_{2},u_{3}) \in A^{3} $. Soit $ (t_{1},t_{2},t_{3}) \in (\mathbb{R}^{+})^{3} $ tel qu...

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Exercice EVN19

Adhérence et intérieur d'un convexe Soient $ E $ un evn et $ A $ une partie convexe de $ E $. Montrer que $ \mathring{A} $ et $ \overline{A} $ sont des parties convexes de $ E $....

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Exercice EVN20

Norme sur un espace de fonctions continues La fonction : \[ f \mapsto \sup_{x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}} |f(x)| \] est-elle une norme sur $ \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) $ ?...

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Exercice EVN21

Existence de normes Montrer que tout $ \mathbb{K} $-espace vectoriel admettant une base, même infinie dénombrable, admet des normes....

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Exercice EVN22

Continuité d'applications matricielles Les fonctions suivantes sont-elles continues sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ ? \[ A \mapsto A^{2}, \quad A \mapsto \det(A), \quad A \mapsto \mathrm{rg}(A),...

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Exercice EVN23

Continuité d’une forme linéaire sur ℝ[X] Soit \( \varphi : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R} \) définie par \( \varphi(P) = P(0) \). Est‑elle continue pour les normes suivantes ? \( P \mapsto \displ...

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Exercice EVN24

Inégalité et norme sup sur un segment Montrer qu’il existe \( a > 0 \) tel que pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \), \[ \sqrt{(2x-y)^2 + (y-\sqrt{7}\,x)^2} \;\le\; a\; \sup_{t\in[0,1]} |x+ty|. \]...

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Exercice EVN26

Deux normes sur C¹([0,1], ℝ) Soit \( E = \mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R}) \). Montrer que les applications suivantes sont des normes sur \( E \) : \[ N_1(f) = \|f\|_\infty + \|f'\|_\infty, \qquad ...

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Exercice EVN27

Continuité du produit de polynômes L’application: \begin{align} \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X]\\ (P,Q) &\longmapsto PQ \end{align} est‑elle continue pour ...

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Exercice EVN28

On pose: \[ D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \} \; ? \] La suite de fonctions complexes: \begin{align} f_n : D &\longmapsto D\\ z &\longmapsto z^n \end{align} converge‑t‑elle unifo...

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Exercice EVN30

Équivalence de convergences en dimension finie Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \((f_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite d’applications linéaires de \(E\) dans \(E\). ...

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Exercice EVN31

Extraction diagonale dans \(\ell^\infty\) Soit \(E = \ell^\infty(\mathbb{N},\mathbb{R})\) l’espace des suites réelles bornées muni de la norme \(\|(u_n)\|_\infty = \sup_n |u_n|\). Soit \(\big(u^{(n)...

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Exercice EVN32

Norme invariante par conjugaison Soit \( n \ge 2 \). Montrer qu'il n'existe pas de norme \( N \) sur \( \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) telle que, pour tout \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) et tou...

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Exercice EVN33

Limite classique de \((1 + z/n)^n\) Soit \( z \in \mathbb{C} \). Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n = e^z. \]...

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Exercice EVN34

Comparaison de normes sur \(\mathcal{C}(I,\mathbb{R})\) Soit \( I \) un segment (intervalle compact) non réduit à un point et \( E = \mathcal{C}(I,\mathbb{R}) \). L'application \( f \mapsto \dis...

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Exercice EVN35

Convergence de suites géométriques complexes Déterminer successivement l'ensemble des \( z \in \mathbb{C} \) tels que : \((z^n)_n\) converge ; \(\displaystyle\sum_{n \ge 0} z^n\) converge ; ...

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Exercice EVN36

Stabilité de la convergence par similitude Soit \( A, B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) semblables. Montrer que \((A^n)_n\) converge (resp. est bornée) si et seulement si \((B^n)_n\) converge (resp...

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Exercice EVN37

Cas d'une seule valeur propre de module 1 Soit \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C}) \) admettant une seule valeur propre \( \lambda \), avec \( |\lambda| = 1 \), et telle que \((M^n)_n\) soit bornée. ...

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Exercice EVN38

Caractérisation des matrices dont la puissance \(n\)-ième tend vers \(0\) Caractériser les matrices \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telles que \((M^n)_n\) converge vers \( 0 \)....

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Exercice EVN39

Convergence de \((M^n)\) et projecteur limite Soit \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telle que \((M^k)_k\) converge. Montrer que sa limite est un projecteur qui commute à \( M \). Montrer ...

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Exercice EVN40

Caractérisation des matrices dont la puissance \(n\)-ième est bornée Caractériser les matrices \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telles que \((M^n)_n\) est bornée....

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