Suites numériques - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice Su1

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $(\forall n\in\Bbb N), |u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes : $ a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sin(n) $ $ b_n = \frac{n - \sin n}{n + \sin n} $ $ c_n = n + 1 - \sin(2n) $ \( d_...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su3

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par : \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \] Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su4

EXERCICE 08 On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1} \] Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su5

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + u_n)^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que la suite $(u_n)$ est...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su6

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su7

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que pour tout $n \in \ma...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su8

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su9

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \] Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. ...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su10

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) \] P...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su11

On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ définies par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n} \] Montrer ...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su12

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su13

Soit $(u_n)_{n \geq 2}$ et $(v_n)_{n \geq 2}$ les suites définies par : \[ u_n = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad \text{et} \quad v_n = 2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} \] Montrer que ...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su14

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $b \neq -a$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \] Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su15

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Soit $f$ la fo...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su16

La Suite Harmonique: Énoncé Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \] M...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su17

Énoncé On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par: \begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su18

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su19

Suite arithmético-géométrique : Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence ...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su20

Exercice 42 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \] Montrer que l'équation ...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su21

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \] Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. En déduire...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su22

Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suit...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

exercice Su23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su24

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align} \] On considè...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su25

Suites extraites: Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Exercice Su26

On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx $$ Calculer $I_0$. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. Montrer que la suite $...

Suites numériques Solution Posted by admin on Sun Apr 26 2026

Filtrer par chapitre

Exercice Su1

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $~~(\forall n\in\Bbb N), ~~|u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...

Exercice Su2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes : \( a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sin(n) \) \( b_n = \frac{n - \sin n}{n + \sin n} \) \( c_n = n + 1 - \sin(2n) \) \( d_...

Exercice Su3

On considère la suite \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par : \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \] Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad...

Exercice Su4

EXERCICE 08 On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1} \] Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{...

Exercice Su5

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + u_n)^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que la suite $(u_n)$ est...

Exercice Su6

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}...

Exercice Su7

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que pour tout $n \in \ma...

Exercice Su8

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_...

Exercice Su9

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \] Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. ...

Exercice Su10

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) \] P...

Exercice Su11

On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ définies par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n} \] Montrer ...

Exercice Su12

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}...

Exercice Su13

Soit $(u_n)_{n \geq 2}$ et $(v_n)_{n \geq 2}$ les suites définies par : \[ u_n = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad \text{et} \quad v_n = 2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} \] Montrer que ...

Exercice Su14

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $b \neq -a$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \] Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs...

Exercice Su15

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Soit $f$ la fo...

Exercice Su16

La Suite Harmonique: Énoncé Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \] M...

Exercice Su17

Énoncé On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par: \begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v...

Exercice Su18

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_...

Exercice Su19

Suite arithmético-géométrique : Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence ...

Exercice Su20

Exercice 42 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \] Montrer que l'équation ...

Exercice Su21

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \] Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. En déduire...

Exercice Su22

Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suit...

exercice Su23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \...

Exercice Su24

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align*} \] On considè...

Exercice Su25

Suites extraites: Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent...

Exercice Su26

On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx $$ Calculer $I_0$. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. Montrer que la suite $...

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $(\forall n\in\Bbb N), |u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align} \] On considè...