Dérivation et étude de fonctions - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice D1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align} \] Représenter la fonct...

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Exercice D2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align} \] Représenter graphique...

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Exercice D3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \] Ét...

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Exercice D4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align} \] Déterminer le domaine d...

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Exercice D5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align} \] Montrer que ...

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Exercice D6

Calculer en utilisant les formules de moivre: $f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...

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Exercice D7

Soit $~f~$ une fonction dérivable en un point $~x_0$. Montrer que : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0) \] Calculer la limite en $~x_0~$ de:...

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Exercice D8

Soit $a$ un réel quelconque. Partie 1 Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \] Partie 2 En déduire les valeurs des...

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Exercice D9

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : \[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit $n$ u...

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Exercice D10

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ trois éléments distincts de $I$ tels que : \[ 2f(x_2) = f(x_1) + f(x...

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Exercice D11

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$. On suppose que : \[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f'(x) \n...

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Exercice D12

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par : \[ g(x)...

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Exercice D13

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ $x ...

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Exercice D14

Soient $a$ et $b$ deux réels et $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la fonction : \[ f(x) = (x - a)^n (x - b)^n \] Calculer la dérivée n-ième $f^{(n)}(x)$. En...

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Exercice D15

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...

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Exercice D16

On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$ Approche par la formule de Leibnitz: Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$ En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g...

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Exercice D17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align} \] Justifier que $f$ ...

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Exercice D18

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$ Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$. En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$. Comparer ...

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Exercice D19

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align} \] ...

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Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

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Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

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Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

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Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

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Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

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Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

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Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

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Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ que toutes les racines de $e_n$ dan...

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Exercice D1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align*} \] Représenter la fonct...

Exercice D2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align*} \] Représenter graphique...

Exercice D3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \] Ét...

Exercice D4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align*} \] Déterminer le domaine d...

Exercice D5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align*} \] Montrer que ...

Exercice D6

Calculer en utilisant les formules de moivre: $~~f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $~~g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...

Exercice D7

Soit $~f~$ une fonction dérivable en un point $~x_0$. Montrer que : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0) \] Calculer la limite en $~x_0~$ de:...

Exercice D8

Soit $a$ un réel quelconque. Partie 1 Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \] Partie 2 En déduire les valeurs des...

Exercice D9

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : \[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit $n$ u...

Exercice D10

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ trois éléments distincts de $I$ tels que : \[ 2f(x_2) = f(x_1) + f(x...

Exercice D11

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$. On suppose que : \[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f'(x) \n...

Exercice D12

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par : \[ g(x)...

Exercice D13

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ $x ...

Exercice D14

Soient $a$ et $b$ deux réels et $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la fonction : \[ f(x) = (x - a)^n (x - b)^n \] Calculer la dérivée n-ième $f^{(n)}(x)$. En...

Exercice D15

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align*} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align*} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...

Exercice D16

On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$ Approche par la formule de Leibnitz: Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$ En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g...

Exercice D17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align*} \] Justifier que $f$ ...

Exercice D18

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$ Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$. En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$. Comparer ...

Exercice D19

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align*} \] ...

Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align*} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ que toutes les racines de $e_n$ dan...

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align} \] Représenter la fonct...

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align} \] Représenter graphique...

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align} \] Déterminer le domaine d...

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align} \] Montrer que ...

Calculer en utilisant les formules de moivre: $f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align} \] Justifier que $f$ ...

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align} \] ...

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...