Limites et Continuité - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice LC1

Déterminer la limite en $0$ de : \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} \] Déterminer la limite en $1$ de : \[ g(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2+x-2} \] Déterminer la limite en ...

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Exercice LC2

Calculer les limites suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{1) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} & \text{7) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin...

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Exercice LC3

Etudier la continuité sur $~\Bbb R~$ des fonctions suivantes: \begin{cases} f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) \text{ si } x\neq 0\\\\ f(0)=0 \end{cases} \begin{cases} g(x)=x\cos(\frac{1}{x}) \text{ si...

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Exercice LC4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{3 + \cos x} - 2}{x^2} & \text{si } x ...

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Exercice LC5

Déterminer le réel $~a~$ pour que la fonction $~f~$ définie par : \[ \begin{cases} f(x) = \dfrac{\cos^3 x - 1}{\sin^2 x} & \text{ si } x \neq 0 \\ \\ f(0) = a & \end{cases} \] Soit cont...

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Exercice LC6

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align} \] ...

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Exercice LC7

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que : \[ f(a) g(b) \] Question : Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x...

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Exercice LC8

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\Bbb R$ telle que: $$(\exists a \in \Bbb R) :\quad f\circ f(a)=a$$ Montrer qu'il existe $~(c\in\Bbb R)~$ tel que: $$f(c)=c$$...

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Exercice LC9

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $\alpha ,\beta$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...

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Exercice LC10

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align} \] Questions : Déterminer $D_...

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Exercice LC11

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \] Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\fora...

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Exercice LC12

Théorème des cordes horizontales: Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{...

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Exercice LC13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de ce...

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Exercice LC14

Valeur moyenne et TVI Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel q...

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Exercice LC15

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab Montre...

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Exercice LC16

Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \] Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l...

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Exercice LC16

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$....

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Exercice LC17

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves) Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathb...

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Exercice LC18

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \] Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqr...

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Exercice LC19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right) \] où $E$ désigne la fonction partie entière. Donner le domaine de définition de $f$ ...

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Exercice LC20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{\ln |x|}\\ \] Donner le domaine de définition de $f$ $f$ est-elle prolongeable par continuité aux points -1 et ...

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Exercice LC21

On considère, l'intervalle $I=[-1, 1]~$ et $~f~$ la fonction définie sur $~I \setminus \{0\}~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+|x|)}{x} \] Montrer que $f$ est impaire sur son domaine de définit...

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Exercice LC22

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...

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Exercice LC23

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...

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Exercice LC24

Exercice : Étude et prolongement d'une fonction rationnelle Énoncé Soit la fonction $ f $ définie par l'expression suivante : \[ f(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \] Déterminer $ D_...

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Exercice LC25

Soit $a \neq 0$ et soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du second degré admettant deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$ (éventuellement confondues). Calculer la limite suivante : \[ \lim_{...

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Exercice LC26

Inspiré du JEE Main Énoncé Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que la limite $ \lim_{x \to 5} f(x) $ existe. On donne la relation suivante : \[ \lim_{x \to 5} \frac{(f(x...

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Exercice LC27

Énoncé Inspiré d'un classique du JEE Main, cet exercice illustre un piège fréquent concernant la définition de la continuité. Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par: \[ f(x) = E...

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Exercice LC1

Déterminer la limite en $0$ de : \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} \] Déterminer la limite en $1$ de : \[ g(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2+x-2} \] Déterminer la limite en ...

Exercice LC2

Calculer les limites suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{1) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} & \text{7) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin...

Exercice LC3

Etudier la continuité sur $~\Bbb R~$ des fonctions suivantes: \begin{cases} f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) \text{ si } x\neq 0\\\\ f(0)=0 \end{cases} \begin{cases} g(x)=x\cos(\frac{1}{x}) \text{ si...

Exercice LC4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{3 + \cos x} - 2}{x^2} & \text{si } x ...

Exercice LC5

Déterminer le réel $~a~$ pour que la fonction $~f~$ définie par : \[ \begin{cases} f(x) = \dfrac{\cos^3 x - 1}{\sin^2 x} & \text{ si } x \neq 0 \\ \\ f(0) = a & \end{cases} \] Soit cont...

Exercice LC6

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] ...

Exercice LC7

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que : \[ f(a) g(b) \] Question : Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x...

Exercice LC8

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\Bbb R$ telle que: $$(\exists a \in \Bbb R) :\quad f\circ f(a)=a$$ Montrer qu'il existe $~(c\in\Bbb R)~$ tel que: $$f(c)=c$$...

Exercice LC9

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $~~\alpha ,\beta~~$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...

Exercice LC10

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align*} \] Questions : Déterminer $D_...

Exercice LC11

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \] Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\fora...

Exercice LC12

Théorème des cordes horizontales: Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{...

Exercice LC13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de ce...

Exercice LC14

Valeur moyenne et TVI Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel q...

Exercice LC15

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab Montre...

Exercice LC16

Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \] Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l...

Exercice LC16

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$....

Exercice LC17

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves) Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathb...

Exercice LC18

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \] Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqr...

Exercice LC19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right) \] où $E$ désigne la fonction partie entière. Donner le domaine de définition de $f$ ...

Exercice LC20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{\ln |x|}\\ \] Donner le domaine de définition de $f$ $f$ est-elle prolongeable par continuité aux points -1 et ...

Exercice LC21

On considère, l'intervalle $I=[-1, 1]~$ et $~f~$ la fonction définie sur $~I \setminus \{0\}~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+|x|)}{x} \] Montrer que $f$ est impaire sur son domaine de définit...

Exercice LC22

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...

Exercice LC23

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...

Exercice LC24

Exercice : Étude et prolongement d'une fonction rationnelle Énoncé Soit la fonction $ f $ définie par l'expression suivante : \[ f(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \] Déterminer $ D_...

Exercice LC25

Soit $a \neq 0$ et soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du second degré admettant deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$ (éventuellement confondues). Calculer la limite suivante : \[ \lim_{...

Exercice LC26

Inspiré du JEE Main Énoncé Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que la limite $ \lim_{x \to 5} f(x) $ existe. On donne la relation suivante : \[ \lim_{x \to 5} \frac{(f(x...

Exercice LC27

Énoncé Inspiré d'un classique du JEE Main, cet exercice illustre un piège fréquent concernant la définition de la continuité. Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par: \[ f(x) = E...

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align} \] ...

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $\alpha ,\beta$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align} \] Questions : Déterminer $D_...

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...