MathématiquesDu Bac aux Prépas

Exercices & ressources · Bac Marocain & Classes Préparatoires
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Prépas
Algèbre Linéaire Déterminants Espaces vectoriels normés Groupes et algèbres Intégrales Généralisés Réduction des endomorphimes Suites et séries numériques Séries de fonctions

Exercice AlgGrpe 1

Soit $G$ un groupe. On appelle centre de $G$ l'ensemble: \[Z(G) = \{g \in G | \forall h \in G, gh = hg\}\] Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$....

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Exercice AlgGrpe 2

Soit $G$ un groupe tel que: \[\forall x\in G: x^2=e\] Montrer que G est commutatif....

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Exercice AlgGrpe 3

Donner un exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini....

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Exercice AlgGrpe 4

Montrer que l'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$....

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Exercice AlgGrpe 5

Les bijections dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ forment-elles un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$ ?...

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Exercice AlgGrpe 6

Quels sont les sous-groupes finis de $\mathbb{C}^*$ ?...

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Exercice AlgGrpe 7

Soit $G$ un groupe et $A$ une partie finie non vide de $G$ stable par produit. Montrer que $A$ est un sous-groupe de $G$. (On pourra considérer la suite $(g^n)_{n \in \mathbb{N}}$.)...

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Exercice AlgGrpe 8

Soit $A$ une partie du groupe $G$ et soit $~~\varphi : G \to G'~$ un morphisme de groupes. Montrer que $\langle \varphi(A) \rangle = \varphi(\langle A \rangle)$....

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Exercice AlgGrpe 9

Caractériser les groupes finis d'ordre premier....

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Exercice AlgGrpe 10

Soit $s \in \mathcal{S}_n$ un cycle. À quelle condition sur $d \in \mathbb{Z}$, $s^d$ est-il un cycle ?...

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Exercice AlgGrpe 11

Caractériser les groupes $G$ dont les seuls sous-groupes sont $G$ et $\{e\}$....

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Exercice AlgGrpe 12

Le groupe $~\mathbb{Q}~$ admet-il une partie génératrice finie ?...

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Exercice AlgGrpe 13

Soient $(G, *)$ un groupe, $H$ un ensemble et $~f : G \to H~$ une bijection. Montrer que la loi $\bullet$ sur $H$ définie par: \[h_1 \bullet h_2 = f\left(f^{-1}(h_1) * f^{-1}(h_2)\right)\] est u...

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Exercice AlgGrpe 14

L'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux est-il un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ ? Un sous-corps de $\mathbb{Q}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 15

Soit $A$ un anneau commutatif intègre et non nul. Montrer que si $A$ est fini, alors $~A~$ est un corps. Montrer que si $~A~$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux, alors $~A~$ est un corps. In...

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Exercice AlgGrpe 16

Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On appelle radical de $~I~$ le sous-ensemble de $~A~$ défini par: \[ \sqrt{I} = \{x \in A | \exists n \in \mathbb{N}, x^n \in I\} \] Mo...

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Exercice AlgGrpe 17

Quels sont les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 18

Soit $E$ un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel de dimension 5. Combien y a-t-il de couples $(u, v) \in E^2$ libres ? Combien y a-t-il de bases d'un plan fixé de $E$ ? Combien l'espace vectoriel $\mathbb{...

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Exercice AlgGrpe 19

Déterminer les polynômes irréductibles de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ de degré $\leqslant 5$....

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Exercice AlgGrpe 20

Soit $S_p = \sum_{k=1}^n a_k^p$. Exprimer $S_2$ et $S_3$ en fonction des fonctions symétriques élémentaires en les $a_k$....

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Exercice AlgGrpe 21

Sous la dynastie des Tang, au 7e siècle en Chine, l'empereur voulut connaitre le nombre exact de ses soldats. Bien qu'il en eût un nombre presque innombrable, il savait qu'il en avait moins d'un milli...

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Exercice AlgGrpe 22

Soit $G$ un groupe et $g$ un élément de $G$. Et Soit: \begin{align} \varphi_g: G&\longrightarrow G \\ h &\longmapsto ghg^{-1} \end{align} Montrer que $\varphi_g$ est un automorphisme de...

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Exercice AlgGrpe 23

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\tau \in \mathcal{S}_n$. Déterminer les permutations qui commutent avec $~\tau~$ (c'est le centralisateur de $\tau$ dans $\mathcal{S}_n$). En déduire le centre de $...

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Exercice AlgGrpe 24

Ă€ quelle condition les groupes $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont-ils isomorphes ?...

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Exercice AlgGrpe 25

Théorème de Cayley : Soit $G$ un groupe fini. Pour tout $g \in G$, on définit, l'application: \begin{align} L_g : G &\longrightarrow G\\ h &\longmapsto gh\end{align} On définit également l'ap...

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Exercice AlgGrpe 26

Groupe dérivé : Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes. Pour tous $a, b \in G$, on note $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$, appelé commutateur de $a$ et $b$. Soit $\mathcal...

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Exercice AlgGrpe 27

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathcal{S}_n$ de la probabilité uniforme et on note $p_n$ la probabilité qu'une permutation ait tous ses cycles de longueur $\leqslant n/2$ dans la décomposition ...

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Exercice AlgGrpe 28

Montrer que $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}^2$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$ ne sont pas isomorphes en tant que groupes....

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Exercice AlgGrpe 29

Autres générateurs de $\mathcal{S}_n$ : Soit $n \geqslant 2$ et $\tau_i = (i\ i+1) \in \mathcal{S}_n$ avec $1 \leqslant i \leqslant n-1$. Montrer que toute permutation $s \in \mathcal{S}_n$ s'écr...

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Exercice AlgGrpe 30

Soit $n \geqslant 2$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{Z}$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{C}^*$....

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Exercice AlgGrpe 31

Le $n$-cycle $(1\ 2\ \cdots\ n)$ admet-il une racine carrée dans $\mathcal{S}_n$ ?...

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Exercice AlgGrpe 32

On munit $E = \mathbb{R}^n$ de son produit scalaire usuel et $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$. On suppose qu'il existe $k \in ]0, 2[$ tel que toute matrice $M$ de $G$ vérifie $|||M - I_n||| ...

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Exercice AlgGrpe 33

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Montrer qu'il existe une partie génératrice $S$ de $G$ telle que $\text{Card}(S) \leqslant \log_2(n)$....

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Exercice AlgGrpe 34

Homographies : Soit $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0\}$. Pour tout $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R})$, on considère l'application $\varphi_M$...

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Exercice AlgGrpe 35

Quels sont les deux derniers chiffres décimaux de $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 36

Théorème de Wilson : Montrer qu'un entier $p \geqslant 2$ est premier si et seulement si $(p - 1)! + 1 \equiv 0 \pmod p$....

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Exercice AlgGrpe 37

Soient $m, n \in \mathbb{N}$. Montrer que $mn(m^{60} - n^{60})$ est divisible par $56786730$....

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Exercice AlgGrpe 38

Nombres de Fermat, de Mersenne et d'Euclide : Soit $2^n - 1$ un nombre premier. Montrer que $n$ est premier. (Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la p...

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Exercice AlgGrpe 39

Critère de primalité de Fermat : Montrer que $n$ est composé si et seulement s'il existe un entier $a$ tel que $1 témoin de Fermat. Il fournit un certificat de non-primalité pour $n$.)...

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Exercice AlgGrpe 40

Une fonction $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite multiplicative si pour tout couple $(m, n)$ d'entiers premiers entre eux, $f(mn) = f(m)f(n)$. Montrer que $f$ est multiplicative si et seul...

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Exercice AlgGrpe 41

Nombres parfaits pairs : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $S(n)$ la somme des diviseurs dans $\mathbb{N}^*$ de $n$. Un nombre est parfait si $S(n) = 2n$. Montrer que $S$ est multiplicative, i.e...

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Exercice AlgGrpe 42

On note $\mathcal{D}(n)$ l'ensemble des diviseurs (positifs) de l'entier $n$. Soient $a, b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux et $n = ab$. Montrer que l'application $\mathcal{D}(a) \times \math...

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Exercice AlgGrpe 43

Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ a-t-on $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ cyclique ? Déterminer tous les m...

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Exercice AlgGrpe 44

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer l'Ă©quivalence entre : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P(x) \geqslant 0$ ; Il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2$. ...

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Exercice AlgGrpe 45

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que $P'$ est scindé. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha P + P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$. ...

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Exercice AlgGrpe 46

Montrer que les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}[X]$ sont exactement les applications $P \mapsto P(aX + b)$ où $(a, b) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}$. Montrer que le...

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Exercice AlgGrpe 47

Comment déterminer si un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ admet une racine multiple ? (On ne sait pas déterminer les racines en général.) Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ irréductible. Montrer que $P$ n...

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Exercice AlgGrpe 48

Soient $P, Q \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que $P$ et $Q$ sont scindés à racines simples et que leurs racines sont entrelacées, i.e. entre deux racines de l'un, il y a une racine de l'autre. Mon...

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Exercice AlgGrpe 49

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Étudier l'injectivité et la surjectivité de $P : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Soit $F \in \mathbb{C}(X)$ non constant. Montrer que $F(\mathbb{C})$ est soit $\mathbb...

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Exercice AlgGrpe 50

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$. Soient $h_0, h_1, \dots, h_n$ des réels distincts. Montrer que la famille $((X+h_i)^n)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ est une base de $E$. On not...

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Exercice AlgGrpe 51

Montrer l'existence et l'unicité d'un $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que pour tout $t \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ : $$P_n(\cot^2 t) = \frac{\sin((2n + 1)t)}{\sin^{2n+1} t}.$$ Détermin...

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Exercice AlgGrpe 52

Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $(P \mid Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt$. Montrer que $E$ muni de $(\cdot \mid \cdot)$ est un espace euclidien. Soit $K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp$ et $P \in K \set...

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Exercice AlgGrpe 53

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On rappelle que $\mathbb{C}[M]$ désigne l'algèbre des polynômes en $M$. Caractériser les inversibles de l'anneau $\mathbb{C}[M]$. Caractériser les divi...

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Exercice AlgGrpe 54

Montrer que les algèbres $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ne sont pas isomorphes....

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Exercice AlgGrpe 55

Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ et $\mathcal{R}$ la relation sur $A$ définie par $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x - y \in I$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une rela...

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Exercice AlgGrpe 56

Soit $K$ un corps fini commutatif. Montrer que $\text{Card}(K)$ est de la forme $p^n$ oĂą $p$ est premier et $n \in \mathbb{N}^*$. (Indication : montrer que $K$ est un espace vectoriel sur son sous-cor...

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Exercice AlgGrpe 57

Une algèbre de Boole $A$ est un anneau tel que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. Montrer que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ est une algèbre de Boole. Montrer que tout élément est son propre opposé...

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Exercice AlgGrpe 58

Existe-t-il un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\mathbb{R}$ tel que $\mathbb{R}$ soit un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 2 ?...

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Exercice AlgGrpe 59

Montrer que $\alpha \in \mathbb{C}$ est algébrique si et seulement si $\mathbb{Q}[\alpha]$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre de dimension finie. Montrer que l'ensemble $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres a...

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Exercice AlgGrpe 60

Soit $H$ une partie finie non-vide de $GL(n, \mathbb{R})$ stable par multiplication. Soit $M \in H$. Montrer que la suite $k \mapsto M^k$ n'est pas injective. En déduire que $H$ est un sous-group...

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Exercice AlgGrpe 61

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ Ă  coefficients entiers, avec $[M]_{i,i}$ impair pour tout $i$ et $[M]_{i,j}$ pair pour tous $i \neq j$. Montrer que $M$ est inversible....

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