Arithmétique - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...

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Exercice A2

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

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Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

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Exercice A4

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

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Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

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Exercice A7

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

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Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...

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Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...

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Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...

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Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...

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Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...

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Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...

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Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...

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Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: $~a~$ et $~a+b$ $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...

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Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...

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Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...

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Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

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Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...

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Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...

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Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

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Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...

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Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...

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Exercice A24

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

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Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...

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Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...

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Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...

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Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

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Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$: $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résoudr...

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Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

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Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

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Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

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Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

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Exercice A34

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

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Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que si $~(x,y),~$ est une solution de l'équatio...

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Exercice A36

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

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Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

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Exercice A38

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

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Exercice A39

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_1:...

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Exercice A40

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

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Exercice A41

Parmi les entiers suivants, déterminer ceux qui sont premiers: $$115;\;181;\;411;\;1999;\;2011;\;2016;\;2017;\;121121121121121121121$$. ...

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Exercice A42

Trouver toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier....

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Exercice A43

Soit p un nombre entier positif. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$ E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$ ...

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Exercice A44

Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$ En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exist...

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Exercice A45

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ pour que l'entier représenté en système décimal par: $\quad\overline{11x1y}\quad$ soit divisible par $~28~$....

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Exercice A46

Soit $~p~$ dans $~\mathbb{N}^*$. On pose: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$ On suppose que: $\quad S=\overline{xxxx}\quad $ en système décimal. Montrer que: $\quad 12p(p+1)=11(x\times \overline{1...

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Exercice A48

On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $(E):(x+1)^2=9+5y$ Montrer que si $(x,y)$ est une solution de (E) alors: $(x\equiv 1\mod 5)$ ou $(x\equiv 2\mod 5)$ Résoudre dans $\mathbb{Z}^2...

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Exercice A49

Soit p un nombre premier: $p\geq 5$ Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$ Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$ Montrer qu...

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Exercice A50

soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$ Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$ Soit $a,b,c$ des ent...

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Exercice A51

Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que: $$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$ ...

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Exercice A52

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~\mathbb{Z}:$ $$ 6\mid (5n^3+n)$$ ...

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Exercice A53

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~~\mathbb{N}$: $$\quad 7\mid (4^{2^n} + 2^{2^n} + 1)$$...

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Exercice A54

Chercher tous les nombres premiers $~p~$ pour lesquels $~8p^2+1~$ et $~8p^2-1~$ sont aussi premiers....

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Exercice A55

Un entier naturel s'écrit: 519 en base 10 $\overline{1341}$ en base $b$ Trouver $~b~$ Convertir le même nombre en base 11 ...

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Exercice A56

Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé....

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Exercice A57

Soit $\quad p\in\mathbb{N^*}\quad \text{et} \quad n=\overline{\underbrace{44\cdots 44}_{\text{p chiffre 4}}\underbrace{88\cdots 88}_{\;(p-1)\text{ chiffre 8}}9}~~$ en décimal. Montrer que $~n~$ est u...

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Exercice A58

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ et l'entier $~m~$ sachant que: $$m=\overline{x3}_{(7)} =\overline{y4}_{(9)}$$...

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Exercice A59

Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$ Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$ Soit p un nombre premier: $~(~p\ge...

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Exercice A60

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$670 x +100\equiv 0\mod 2014$$...

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Exercice A61

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

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Exercice A62

En utilisant les congruences modulo 9 et 11 trouver le chiffre $x$. $(\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10}$. $(\overline{2x99561})_{10} = [3(523...

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Exercice A63

Montrer qu'il n'existe aucun carré parfait parmi la suite des entiers suivants: $$11~;~~~111~;~~~1111~;~~~11111~;~~~11\cdots 1~;\cdots$$...

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Exercice A64

Soit $(a,b)$ dans $\Bbb N^2$ On se propose de résoudre le système suivant: $$(S)\quad\begin{cases} a^2+b^2&=801\\ \text{lcm}(a,b)&=120 \end{cases}$$ Démontrer que l'equivalence suivante pour to...

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Exercice A65

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

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Exercice A66

Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$. En effectuant u...

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Exercice A67

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

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Exercice A68

Considérons la fonction définie sur $\mathbb{N}$ par : \[ \begin{cases} f:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}\\ f(n)=n^2+n+41 \end{cases} \] En 1772, le mathématicien Leonhard Euler a découvert l...

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Exercice A69

Soit $(a,b,c)$ trois entiers naturels strictement positifs : Résoudre dans $\mathbb{N}^\times \mathbb{N}^$ les équations suivantes : $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17}$ $\dfrac{1}{a}+\dfr...

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Exercice A70

On considère le polynôme : \[ P(X)=4X^3-3X^2-8X+6=0\qquad (\mathcal{E}) \] On suppose que ce polynôme admet une racine rationnelle non entière. On pose : $r=\dfrac{p}{q}$ avec $p\land q=1$ et $(p,q...

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Exercice A71

On se propose de résoudre l'équation: \[(E_1) : x^2=8\pmod{289}\] Vérifier que 17 divise 289 et en déduire la décomposition de 289 en nombres premiers. Vérifier que $5$ et $-5$ sont les soluti...

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Exercice A72

Soit l'équation suivante, à résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ : \[ 2x^2y-122x^2-33y=2023 \] Indication : On pourra utiliser une factorisation !...

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Exercice A73

Soit $p$ un nombre premier et $m=p^2+2^p$. On suppose que : $p\geq 5$ Montrer que $m=0\pmod 3$. Que peut-on conclure pour $m$. Que peut-on dire de $m$ si $p=3$ Soit $n\in \mathbb{N}^*$ et ...

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Exercice A74

On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation suivante : \[ (E):\quad x^2(x^2+7)=y(2x+y) \] On se propose de résoudre cette équation de deux manières différentes. Première méthode : Montrer que ...

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Exercice A75

Soit à résoudre dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ l'équation : \[ (E):\quad x^3+y^3=173(1+xy) \] On admet que $173$ est un nombre premier. Première partie : Montrer que si $(x,y)$ est une sol...

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Exercice A76

Soit $a$ et $d$ deux entiers naturels tels que : $a\geq 2$ et $d\geq 1$. Montrer l'équivalence suivante : \[ (a^{d}-1)\mid (2^n -1)\Longleftrightarrow d\mid n \] En déduire que : $31$ et $127$ ...

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Exercice A77

On se propose de montrer que la suite $(u_n)$ définie ci-dessous n'est jamais un entier pour $n\geq 2$ : \[ u_n=1+\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots + \dfrac{1}{n} \] On désigne par $~l,~$ le plus peti...

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Exercice A78

On considère les deux équations suivantes : \[ (\mathcal{E}_1):\qquad a^2-b^2=2019 \qquad \text{et} \qquad (\mathcal{E}_2):\qquad a^3-b^3=2019 \] où $a$ et $b$ sont des entiers positifs. Résoudre...

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Exercice A79

On considère l'équation : \[ 5x^2-7y^2=3 \] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Écrire cette équation modulo 3 et en déduire qu'elle n'admet pas de solution. Écrire encore la même équation ...

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Exercice A80

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels quelconques. On pose : $N=mn(m^{60}-n^{60})$ Décomposer $56786730$ en produit de facteurs premiers Prouver que $N$ est divisible par $56786730$ ...

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Exercice A81

Soit $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs. On se propose de chercher le plus petit nombre premier $p$ qui s'écrit sous la forme : \[ p=\dfrac{m^3+n^3}{89}\qquad (E_1) \] Montrer que l'on...

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Exercice A82

On considère le nombre $S$ suivant : \[ S=\sum\limits_{k=1}^{2022}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}} \] Notre objectif est de calculer $S$ Soit $a$ et $b$ des entiers naturels. Montrer ...

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Exercice A83

Soit $a,b,c$ trois entiers relatifs tels que : \[ a^3+b^3+c^3=0\pmod 7 \] Montrer que $abc=0\pmod 7$ Indication : On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. ...

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Exercice A84

Soit $n\in \mathbb{N}$ Étudier suivant les valeurs de $n$ le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $11$ Déterminer $x$ pour que : \[ 3^{183}+\overline{51x4}_{10}=0\pmod{11} \] ...

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Exercice A85

Soit $(p,n)\in\mathbb{N}^2$ où $p$ est un nombre premier et tels que $~n>p$. On désigne par $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du nombre réel $x$. Le but du problème est de calculer la plus grande...

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Exercice A85

Soit $x,y,z$ trois entiers relatifs vérifiant : \[ xy+xz+yz=1 \] Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant : $(x+i)(y+i)(z+i)$ En déduire que le nombre : \[ (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1...

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Exercice A86

Soit $p$ un nombre premier. Résoudre $x^2=1\pmod p$ Montrer que $2\times 3\times \cdots \times (p-2)=1\pmod p$ En déduire que $(p-1)!=-1\pmod p$ Montrer que la réciproque est aussi vraie, c'est-...

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Exercice A87

Soit : $a_n=(n!)^2+1$ où $n\in\mathbb{N}^* : n\geq 2$ Montrer que $a_n$ est impair. Montrer que $a_n$ admet un diviseur premier $p>n$ En supposant que $p=4k+3$, montrer que : $a_n$ divise $((n!)^...

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Exercice A88

Exercice Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}^2$ tel que : $p\land q=1$. Montrer que pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, le système : \[ (S)\begin{cases} x=a\pmod p \\ x=b\pmod q \end{cases} \] admet au mo...

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Exercice A89

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D) : 7x^3-13y=5$ Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers ent...

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Exercice A90

Examen National 2020 Session de Rattrapage Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : \[p\lt q \quad \text{et} \quad 9^{p+q-1}\equiv 1\pmod{pq}\] Montrer que $p$ et $9$ sont premier...

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Exercice A91

Examen National 2021 Session Normale Partie I : On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : 47x-43y=1$ Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équ...

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Exercice A92

Examen National 2021 Session de Rattrapage Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit: \[A=1+a+a^2+\cdots+a^6\] Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$ Mon...

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Exercice A93

Examen National 2022 Session Normale On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation $(E_n) : (x+1)^n-x^n=ny$. Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb{N}^2$ et soit $p$ le plus pet...

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Exercice A94

Examen National 2022 Session de Rattrapage Montrer que $137$ est un nombre premier Déterminer un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $38u + 136v=2$ Soit $x\in\mathbb{Z}$ tel que : $x^{136}...

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Exercice A95

Examen National 2023 Session Normale Soit $p$ un nombre premier impair. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation: \[(E) : x^2=2\pmod p\] Montrer que : $2^{p-1}=1\pmod p$ En déduire que :...

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Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...

Exercice A2

Montrer que: $~~C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $~~(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $~~a\mid ~~b \text{ et } a~~\mid c~~$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Exercice A4

Effectuer les divisions euclidiennes de $~~a~~$ par $~~b~~$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $~~\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~~$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Exercice A7

Montrer que tout $~~\bar x~~$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0~~$ En déduire que: $~~\quad 3\mid (n^3-n)~~$ pour tout $~~n~~$ dans $~~\mathbb{Z}~~$ ...

Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...

Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...

Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...

Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...

Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...

Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...

Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...

Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: \(~a~\) et \(~a+b\) $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...

Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...

Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...

Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad ~~1\leq x\leq 390~~$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...

Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...

Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align*} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align*} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...

Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...

Exercice A24

Déterminer tous les couples: $~~\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:~~a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...

Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...

Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...

Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$: $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résoudr...

Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~~~b_n -2a_n~~$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align*} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^*}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Exercice A34

Dans $~~\mathbb{N^*}^2,~~$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que si $~(x,y),~$ est une solution de l'équatio...

Exercice A36

Soit $~~(a,b)~~$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b ~~\mbox{ ou}~~ b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $~~a,b,c~~$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Exercice A38

Dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

Exercice A39

L'espace affine $~~\mathcal E~~$ est muni d'un repère orthonormé $~~(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~~$. On considère les plans $~~\mathcal P_1 ~~\mbox{et} ~~\mathcal P_2~~$ définis par: $$\mathcal P_1:...

Exercice A40

Soit $~~(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N~~$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $~~(x,y)=(1,0);(2,1)~~$, sont des solutions de $~~E~~$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Exercice A41

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_1:...

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

Soit $(a,b,c)$ trois entiers naturels strictement positifs : Résoudre dans $\mathbb{N}^\times \mathbb{N}^$ les équations suivantes : $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17}$ $\dfrac{1}{a}+\dfr...