Arithmétique - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A2

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A4

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A7

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: $~a~$ et $~a+b$ $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A24

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$: $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résoudr...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A34

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que si $~(x,y),~$ est une solution de l'équatio...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A36

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A38

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A39

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_1:...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A40

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A41

Parmi les entiers suivants, déterminer ceux qui sont premiers: $$115;\;181;\;411;\;1999;\;2011;\;2016;\;2017;\;121121121121121121121$$. ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A42

Trouver toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier....

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A43

Soit p un nombre entier positif. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$ E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A44

Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$ En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exist...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A45

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ pour que l'entier représenté en système décimal par: $\quad\overline{11x1y}\quad$ soit divisible par $~28~$....

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A46

Soit $~p~$ dans $~\mathbb{N}^*$. On pose: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$ On suppose que: $\quad S=\overline{xxxx}\quad $ en système décimal. Montrer que: $\quad 12p(p+1)=11(x\times \overline{1...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A48

On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $(E):(x+1)^2=9+5y$ Montrer que si $(x,y)$ est une solution de (E) alors: $(x\equiv 1\mod 5)$ ou $(x\equiv 2\mod 5)$ Résoudre dans $\mathbb{Z}^2...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A49

Soit p un nombre premier: $p\geq 5$ Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$ Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$ Montrer qu...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A50

soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$ Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$ Soit $a,b,c$ des ent...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A51

Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que: $$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A52

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~\mathbb{Z}:$ $$ 6\mid (5n^3+n)$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A53

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~~\mathbb{N}$: $$\quad 7\mid (4^{2^n} + 2^{2^n} + 1)$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A54

Chercher tous les nombres premiers $~p~$ pour lesquels $~8p^2+1~$ et $~8p^2-1~$ sont aussi premiers....

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A55

Un entier naturel s'écrit: 519 en base 10 $\overline{1341}$ en base $b$ Trouver $~b~$ Convertir le même nombre en base 11 ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A56

Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé....

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A57

Soit $\quad p\in\mathbb{N^*}\quad \text{et} \quad n=\overline{\underbrace{44\cdots 44}_{\text{p chiffre 4}}\underbrace{88\cdots 88}_{\;(p-1)\text{ chiffre 8}}9}~~$ en décimal. Montrer que $~n~$ est u...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A58

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ et l'entier $~m~$ sachant que: $$m=\overline{x3}_{(7)} =\overline{y4}_{(9)}$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A59

Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$ Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$ Soit p un nombre premier: $~(~p\ge...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A60

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$670 x +100\equiv 0\mod 2014$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A61

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A62

En utilisant les congruences modulo 9 et 11 trouver le chiffre $x$. $(\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10}$. $(\overline{2x99561})_{10} = [3(523...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A63

Montrer qu'il n'existe aucun carré parfait parmi la suite des entiers suivants: $$11~;~~~111~;~~~1111~;~~~11111~;~~~11\cdots 1~;\cdots$$...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A64

Soit $(a,b)$ dans $\Bbb N^2$ On se propose de résoudre le système suivant: $$(S)\quad\begin{cases} a^2+b^2&=801\\ \text{lcm}(a,b)&=120 \end{cases}$$ Démontrer que l'equivalence suivante pour to...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A65

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A66

Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$. En effectuant u...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A67

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A68

Considérons la fonction définie sur $\mathbb{N}$ par : \[ \begin{cases} f:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}\\ f(n)=n^2+n+41 \end{cases} \] En 1772, le mathématicien Leonhard Euler a découvert l...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A69

Soit $(a,b,c)$ trois entiers naturels strictement positifs : Résoudre dans $\mathbb{N}^\times \mathbb{N}^$ les équations suivantes : $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17}$ $\dfrac{1}{a}+\dfr...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A70

On considère le polynôme : \[ P(X)=4X^3-3X^2-8X+6=0\qquad (\mathcal{E}) \] On suppose que ce polynôme admet une racine rationnelle non entière. On pose : $r=\dfrac{p}{q}$ avec $p\land q=1$ et $(p,q...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A71

On se propose de résoudre l'équation: \[(E_1) : x^2=8\pmod{289}\] Vérifier que 17 divise 289 et en déduire la décomposition de 289 en nombres premiers. Vérifier que $5$ et $-5$ sont les soluti...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A72

Soit l'équation suivante, à résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ : \[ 2x^2y-122x^2-33y=2023 \] Indication : On pourra utiliser une factorisation !...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A73

Soit $p$ un nombre premier et $m=p^2+2^p$. On suppose que : $p\geq 5$ Montrer que $m=0\pmod 3$. Que peut-on conclure pour $m$. Que peut-on dire de $m$ si $p=3$ Soit $n\in \mathbb{N}^*$ et ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A74

On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation suivante : \[ (E):\quad x^2(x^2+7)=y(2x+y) \] On se propose de résoudre cette équation de deux manières différentes. Première méthode : Montrer que ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A75

Soit à résoudre dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ l'équation : \[ (E):\quad x^3+y^3=173(1+xy) \] On admet que $173$ est un nombre premier. Première partie : Montrer que si $(x,y)$ est une sol...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A76

Soit $a$ et $d$ deux entiers naturels tels que : $a\geq 2$ et $d\geq 1$. Montrer l'équivalence suivante : \[ (a^{d}-1)\mid (2^n -1)\Longleftrightarrow d\mid n \] En déduire que : $31$ et $127$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A77

On se propose de montrer que la suite $(u_n)$ définie ci-dessous n'est jamais un entier pour $n\geq 2$ : \[ u_n=1+\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots + \dfrac{1}{n} \] On désigne par $~l,~$ le plus peti...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A78

On considère les deux équations suivantes : \[ (\mathcal{E}_1):\qquad a^2-b^2=2019 \qquad \text{et} \qquad (\mathcal{E}_2):\qquad a^3-b^3=2019 \] où $a$ et $b$ sont des entiers positifs. Résoudre...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A79

On considère l'équation : \[ 5x^2-7y^2=3 \] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Écrire cette équation modulo 3 et en déduire qu'elle n'admet pas de solution. Écrire encore la même équation ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A80

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels quelconques. On pose : $N=mn(m^{60}-n^{60})$ Décomposer $56786730$ en produit de facteurs premiers Prouver que $N$ est divisible par $56786730$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A81

Soit $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs. On se propose de chercher le plus petit nombre premier $p$ qui s'écrit sous la forme : \[ p=\dfrac{m^3+n^3}{89}\qquad (E_1) \] Montrer que l'on...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A82

On considère le nombre $S$ suivant : \[ S=\sum\limits_{k=1}^{2022}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}} \] Notre objectif est de calculer $S$ Soit $a$ et $b$ des entiers naturels. Montrer ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A83

Soit $a,b,c$ trois entiers relatifs tels que : \[ a^3+b^3+c^3=0\pmod 7 \] Montrer que $abc=0\pmod 7$ Indication : On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A84

Soit $n\in \mathbb{N}$ Étudier suivant les valeurs de $n$ le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $11$ Déterminer $x$ pour que : \[ 3^{183}+\overline{51x4}_{10}=0\pmod{11} \] ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A85

Soit $(p,n)\in\mathbb{N}^2$ où $p$ est un nombre premier et tels que $~n>p$. On désigne par $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du nombre réel $x$. Le but du problème est de calculer la plus grande...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A85

Soit $x,y,z$ trois entiers relatifs vérifiant : \[ xy+xz+yz=1 \] Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant : $(x+i)(y+i)(z+i)$ En déduire que le nombre : \[ (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A86

Soit $p$ un nombre premier. Résoudre $x^2=1\pmod p$ Montrer que $2\times 3\times \cdots \times (p-2)=1\pmod p$ En déduire que $(p-1)!=-1\pmod p$ Montrer que la réciproque est aussi vraie, c'est-...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A87

Soit : $a_n=(n!)^2+1$ où $n\in\mathbb{N}^* : n\geq 2$ Montrer que $a_n$ est impair. Montrer que $a_n$ admet un diviseur premier $p>n$ En supposant que $p=4k+3$, montrer que : $a_n$ divise $((n!)^...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A88

Exercice Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}^2$ tel que : $p\land q=1$. Montrer que pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, le système : \[ (S)\begin{cases} x=a\pmod p \\ x=b\pmod q \end{cases} \] admet au mo...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A89

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D) : 7x^3-13y=5$ Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers ent...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A90

Examen National 2020 Session de Rattrapage Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : \[p\lt q \quad \text{et} \quad 9^{p+q-1}\equiv 1\pmod{pq}\] Montrer que $p$ et $9$ sont premier...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A91

Examen National 2021 Session Normale Partie I : On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : 47x-43y=1$ Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équ...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A92

Examen National 2021 Session de Rattrapage Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit: \[A=1+a+a^2+\cdots+a^6\] Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$ Mon...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A93

Examen National 2022 Session Normale On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation $(E_n) : (x+1)^n-x^n=ny$. Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb{N}^2$ et soit $p$ le plus pet...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A94

Examen National 2022 Session de Rattrapage Montrer que $137$ est un nombre premier Déterminer un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $38u + 136v=2$ Soit $x\in\mathbb{Z}$ tel que : $x^{136}...

Arithmétique Solution Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Exercice A95

Examen National 2023 Session Normale Soit $p$ un nombre premier impair. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation: \[(E) : x^2=2\pmod p\] Montrer que : $2^{p-1}=1\pmod p$ En déduire que :...

Arithmétique Posted by admin on Thu Sep 10 2026

Filtrer par chapitre

Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...

Exercice A2

Montrer que: $~~C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $~~(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $~~a\mid ~~b \text{ et } a~~\mid c~~$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Exercice A4

Effectuer les divisions euclidiennes de $~~a~~$ par $~~b~~$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $~~\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~~$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Exercice A7

Montrer que tout $~~\bar x~~$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0~~$ En déduire que: $~~\quad 3\mid (n^3-n)~~$ pour tout $~~n~~$ dans $~~\mathbb{Z}~~$ ...

Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...

Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...

Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...

Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...

Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...

Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...

Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...

Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: \(~a~\) et \(~a+b\) $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...

Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...

Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...

Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad ~~1\leq x\leq 390~~$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...

Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...

Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align*} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align*} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...

Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...

Exercice A24

Déterminer tous les couples: $~~\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:~~a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...

Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...

Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...

Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$: $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résoudr...

Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~~~b_n -2a_n~~$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align*} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^*}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Exercice A34

Dans $~~\mathbb{N^*}^2,~~$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que si $~(x,y),~$ est une solution de l'équatio...

Exercice A36

Soit $~~(a,b)~~$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b ~~\mbox{ ou}~~ b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $~~a,b,c~~$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Exercice A38

Dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

Exercice A39

L'espace affine $~~\mathcal E~~$ est muni d'un repère orthonormé $~~(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~~$. On considère les plans $~~\mathcal P_1 ~~\mbox{et} ~~\mathcal P_2~~$ définis par: $$\mathcal P_1:...

Exercice A40

Soit $~~(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N~~$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $~~(x,y)=(1,0);(2,1)~~$, sont des solutions de $~~E~~$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Exercice A41

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_1:...

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

Soit $(a,b,c)$ trois entiers naturels strictement positifs : Résoudre dans $\mathbb{N}^\times \mathbb{N}^$ les équations suivantes : $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{17}$ $\dfrac{1}{a}+\dfr...