Arithmétique - Exercices Corrigés Bac Marocain

Exercice A67

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

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Exercice A66

Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$. En effectuant u...

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Exercice A65

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

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Exercice A64

Soit $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ On se propose de résoudre le système suivant: $$(S)\quad\begin{cases} a^2+b^2&=801\\ \text{lcm}(a,b)&=120 \end{cases}$$ Démontrer que l'equivalence suivante pou...

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Exercice A63

Montrer qu'il n'existe aucun carré parfait parmi la suite des entiers suivants: $$11~;~~~111~;~~~1111~;~~~11111~;~~~11\cdots 1~;\cdots$$...

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Exercice A62

En utilisant les congruences modulo 9 et 11 trouver le chiffre $x$. $(\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10}$. $(\overline{2x99561})_{10} = [3(523...

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Exercice A61

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

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Exercice A60

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$670 x +100\equiv 0\mod 2014$$...

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Exercice A59

Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$ Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$ Soit p un nombre premier: $~(~p\ge...

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Exercice A58

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ et l'entier $~m~$ sachant que: $$m=\overline{x3}_{(7)} =\overline{y4}_{(9)}$$...

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Exercice A57

Soit $\quad p\in\mathbb{N^*}\quad \text{et} \quad n=\overline{\underbrace{44\cdots 44}_{\text{p chiffre 4}}\underbrace{88\cdots 88}_{\;(p-1)\text{ chiffre 8}}9}~~$ en décimal. Montrer que $~n~$ est u...

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Exercice A56

Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé....

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Exercice A55

Un entier naturel s'écrit: 519 en base 10 $\overline{1341}$ en base $b$ Trouver $~b~$ Convertir le même nombre en base 11 ...

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Exercice A54

Chercher tous les nombres premiers p pour lesquels $~8p^2+1~$ et $~8p^2-1~$ sont aussi premiers....

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Exercice A53

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~~\mathbb{N}$: $$\quad 7\mid (4^{2^n} + 2^{2^n} + 1)$$...

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Exercice A52

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~\mathbb{Z}:$ $$ 6\mid (5n^3+n)$$ ...

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Exercice A51

Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que: $$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$ ...

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Exercice A50

soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$ Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$ Soit $a,b,c$ des ent...

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Exercice A49

Soit p un nombre premier: $p\geq 5$ Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$ Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$ Montrer qu...

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Exercice A48

On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $(E):(x+1)^2=9+5y$ Montrer que si $(x,y)$ est une solution de (E) alors: $(x\equiv 1\mod 5)$ ou $(x\equiv 2\mod 5)$ Résoudre dans $\mathbb{Z}^2...

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Exercice A46

Soit $~p~$ dans $~\mathbb{N}^*$. On pose: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$. On suppose que: $\quad S=\overline{xxxx}\quad $ en système décimal. Montrer que: $\quad 12p(p+1)=11(x\times \overline{...

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Exercice A45

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ pour que l'entier représenté en système décimal par: $\quad\overline{11x1y}\quad$ soit divisible par $~28~$....

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Exercice A44

Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$ En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exist...

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Exercice A43

Soit p un nombre entier positif. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$ E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$ ...

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Exercice A42

Trouver toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier....

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Exercice A41

Parmi les entiers suivants, déterminer ceux qui sont premiers: $$115;\;181;\;411;\;1999;\;2011;\;2016;\;2017;\;121121121121121121121$$. ...

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Exercice A40

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

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Exercice A39

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.\\ On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_...

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Exercice A38

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

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Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

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Exercice A36

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

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Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que $(x,y)$ est une solution de l'équation $(E)$...

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Exercice A34

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

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Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

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Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

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Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

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Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

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Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$:\\ $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résou...

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Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

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Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...

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Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...

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Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...

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Exercice A24

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

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Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...

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Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...

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Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

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Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...

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Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...

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Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

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Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...

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Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...

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Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: $~a~$ et $~a+b$ $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...

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Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...

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Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...

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Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...

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Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...

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Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...

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Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...

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Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...

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Exercice A7

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

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Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

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Exercice A4:

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

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Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

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Exercice A2

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...

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Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...

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Exercice A67

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

Exercice A66

Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$. En effectuant u...

Exercice A65

Résoudre dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

Exercice A64

Soit $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ On se propose de résoudre le système suivant: $$(S)\quad\begin{cases} a^2+b^2&=801\\ \text{lcm}(a,b)&=120 \end{cases}$$ Démontrer que l'equivalence suivante pou...

Exercice A63

Montrer qu'il n'existe aucun carré parfait parmi la suite des entiers suivants: $$11~;~~~111~;~~~1111~;~~~11111~;~~~11\cdots 1~;\cdots$$...

Exercice A62

En utilisant les congruences modulo 9 et 11 trouver le chiffre $x$. $(\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10}$. $(\overline{2x99561})_{10} = [3(523...

Exercice A61

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $~~2^{50}~~$ et $~~41^{65}~~$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

Exercice A60

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$670 x +100\equiv 0\mod 2014$$...

Exercice A59

Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$ Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$ Soit p un nombre premier: $~(~p\ge...

Exercice A58

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ et l'entier $~m~$ sachant que: $$m=\overline{x3}_{(7)} =\overline{y4}_{(9)}$$...

Exercice A57

Soit $\quad p\in\mathbb{N^*}\quad \text{et} \quad n=\overline{\underbrace{44\cdots 44}_{\text{p chiffre 4}}\underbrace{88\cdots 88}_{\;(p-1)\text{ chiffre 8}}9}~~$ en décimal. Montrer que $~n~$ est u...

Exercice A56

Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé....

Exercice A55

Un entier naturel s'écrit: 519 en base 10 $\overline{1341}$ en base $b$ Trouver $~b~$ Convertir le même nombre en base 11 ...

Exercice A54

Chercher tous les nombres premiers p pour lesquels $~8p^2+1~$ et $~8p^2-1~$ sont aussi premiers....

Exercice A53

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~~\mathbb{N}$: $$\quad 7\mid (4^{2^n} + 2^{2^n} + 1)$$...

Exercice A52

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~\mathbb{Z}:$ $$ 6\mid (5n^3+n)$$ ...

Exercice A51

Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que: $$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$ ...

Exercice A50

soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$ Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$ Soit $a,b,c$ des ent...

Exercice A49

Soit p un nombre premier: $p\geq 5$ Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$ Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$ Montrer qu...

Exercice A48

On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $(E):(x+1)^2=9+5y$ Montrer que si $(x,y)$ est une solution de (E) alors: $(x\equiv 1\mod 5)$ ou $(x\equiv 2\mod 5)$ Résoudre dans $\mathbb{Z}^2...

Exercice A46

Soit $~p~$ dans $~\mathbb{N}^*$. On pose: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$. On suppose que: $\quad S=\overline{xxxx}\quad $ en système décimal. Montrer que: $\quad 12p(p+1)=11(x\times \overline{...

Exercice A45

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ pour que l'entier représenté en système décimal par: $\quad\overline{11x1y}\quad$ soit divisible par $~28~$....

Exercice A44

Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$ En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exist...

Exercice A43

Soit p un nombre entier positif. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$ E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$ ...

Exercice A42

Trouver toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier....

Exercice A41

Parmi les entiers suivants, déterminer ceux qui sont premiers: $$115;\;181;\;411;\;1999;\;2011;\;2016;\;2017;\;121121121121121121121$$. ...

Exercice A40

Soit $~~(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N~~$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $~~(x,y)=(1,0);(2,1)~~$, sont des solutions de $~~E~~$. Montrer que pour $~y\geq 2...

Exercice A39

L'espace affine $~~\mathcal E~~$ est muni d'un repère orthonormé $~~(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~~$.\\ On considère les plans $~~\mathcal P_1 ~~\mbox{et} ~~\mathcal P_2~~$ définis par: $$\mathcal P_...

Exercice A38

Dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $~~a,b,c~~$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Exercice A36

Soit $~~(a,b)~~$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b ~~\mbox{ ou}~~ b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que $(x,y)$ est une solution de l'équation $(E)$...

Exercice A34

Dans $~~\mathbb{N^*}^2,~~$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align*} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^*}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...

Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~~~b_n -2a_n~~$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...

Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$:\\ $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résou...

Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...

Exercice A27

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $2^{50}$ et $41^{65}$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...

Soit $(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $(x,y)=(1,0);(2,1)$, sont des solutions de $E$. Montrer que pour $~y\geq 2...

L'espace affine $\mathcal E$ est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.\\ On considère les plans $\mathcal P_1 \mbox{et} \mathcal P_2$ définis par: $$\mathcal P_...

Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...

Déterminer les entiers naturels $a,b,c$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...

Soit $(a,b)$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b \mbox{ ou} b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...

Dans $\mathbb{N^*}^2,$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~b_n -2a_n$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...

Déterminer tous les couples: $\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align} Résoudre $f(x)=0$ Montre...

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad 1\leq x\leq 390$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...

Montrer que tout $\bar x$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0$ En déduire que: $\quad 3\mid (n^3-n)$ pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}~~$ ...

Dresser les tables de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...

Effectuer les divisions euclidiennes de $a$ par $b$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $a\mid b \text{ et } a\mid c$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...

Montrer que: $C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...