Séries de fonctions - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice SERF 1

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ : $$u_n(x) = n^\alpha \, x^n(1 - x)$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fon...

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Exercice SERF 2

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ : $$f_n(x) = nx^2 e^{-x\sqrt{n}}$$ Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\displaystyle\sum f_n$. Étudier la c...

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Exercice SERF 3

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ : $$u_n(x) = (-1)^n \ln\!\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right)$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$...

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Exercice SERF 4

Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Justifier l'existence de : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x+n}\right)$$ Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. Soi...

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Exercice SERF 5

Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels strictement positifs telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$. On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-...

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Exercice SERF 6

Soit $u_n(x) = \dfrac{x}{n(1+nx^2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $x \in \mathbb{R}$. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $\math...

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Exercice SERF 7

On considère, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x+n}$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^...

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Exercice SERF 8

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $[0, +\infty[$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ Calculer ...

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Exercice SERF 9

On rappelle que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $e^t = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{t^n}{n!}$. Pour tout $x > 0$, on pose : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$ P...

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Exercice SERF 10

Justifier que l'on définit une application $f$ sur $\mathbb{R}$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^2}{e^{2nx} + e^{-3nx}}$$ Prouver que $...

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Exercice SERF 11

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $]0, +\infty[$ en posant : $$\forall x > 0, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$$ À l'aide d'une comparaison sé...

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Exercice SERF 12

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $$\frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p}$$ Soit $n \in \mathbb{Z}$. Calculer $I_n = \displaystyle\int_0^{2\pi} \fr...

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Exercice SERF 13

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2}$$ Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Soit $x > 0$. Pour tout $t \in \math...

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Exercice SERF 14

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. ...

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Exercice SERF 15

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$ Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,dx...

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Exercice SERF 16

On note, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$$ Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$. Prouver que $f$ est con...

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Exercice SERF 17

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est de classe ...

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Exercice SERF 18

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et su...

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Exercice SERF 19

Soit $a \in ]0, 1[$. Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x)$, $x \in \mathbb{R}$. Vérifier que $D_f = \mathbb{R}$ et que $f$ est impaire. Prouver que $f$ est continue s...

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Exercice SERF 20

Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$ ...

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Exercice SERF 1

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ : $$u_n(x) = n^\alpha \, x^n(1 - x)$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fon...

Exercice SERF 2

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ : $$f_n(x) = nx^2 e^{-x\sqrt{n}}$$ Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\displaystyle\sum f_n$. Étudier la c...

Exercice SERF 3

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ : $$u_n(x) = (-1)^n \ln\!\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right)$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$...

Exercice SERF 4

Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Justifier l'existence de : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x+n}\right)$$ Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. Soi...

Exercice SERF 5

Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels strictement positifs telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$. On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-...

Exercice SERF 6

Soit $u_n(x) = \dfrac{x}{n(1+nx^2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $x \in \mathbb{R}$. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $\math...

Exercice SERF 7

On considère, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x+n}$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^...

Exercice SERF 8

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $[0, +\infty[$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ Calculer ...

Exercice SERF 9

On rappelle que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $e^t = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{t^n}{n!}$. Pour tout $x > 0$, on pose : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$ P...

Exercice SERF 10

Justifier que l'on définit une application $f$ sur $\mathbb{R}$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^2}{e^{2nx} + e^{-3nx}}$$ Prouver que $...

Exercice SERF 11

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $]0, +\infty[$ en posant : $$\forall x > 0, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$$ À l'aide d'une comparaison sé...

Exercice SERF 12

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $$\frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p}$$ Soit $n \in \mathbb{Z}$. Calculer $I_n = \displaystyle\int_0^{2\pi} \fr...

Exercice SERF 13

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2}$$ Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Soit $x > 0$. Pour tout $t \in \math...

Exercice SERF 14

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. ...

Exercice SERF 15

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$ Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,dx...

Exercice SERF 16

On note, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$$ Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$. Prouver que $f$ est con...

Exercice SERF 17

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est de classe ...

Exercice SERF 18

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et su...

Exercice SERF 19

Soit $a \in ]0, 1[$. Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x)$, $x \in \mathbb{R}$. Vérifier que $D_f = \mathbb{R}$ et que $f$ est impaire. Prouver que $f$ est continue s...

Exercice SERF 20

Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$ ...