Intégrales Généralisés - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exrecice IG1

Nature des intégrales généralisées Étudier la nature (convergence/divergence) des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) dx\) \(...

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Exercice IG2

Convergence avec paramètre Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{t^\alpha} \, dt \] converge. Déterminer \(a \in \mathbb{R}\) pour q...

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Exercice IG3

Exercice IG3 – Existence et calcul d'intégrales Existence et calcul des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)}\) \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty...

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Exercice IG4

Intégrale paramétrée \(I(a)\) Soit \(a>0\). On considère l’intégrale généralisée : \[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2 + \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}. \] Justifier l’existence de \(...

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Exercice IG5

Calcul de \(I_n\) Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On pose \[ I_n = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}. \] Justifier l’existence de \(I_n\). Soient \(a_1,\d...

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Exercice IG6

Intégrale \(\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}\) Soient \( a &lt b \) deux réels. Existence et calcul de: \[ I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}. \] Indication : effectuer le changemen...

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Exercice IG7

Fonction Bêta Soit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). On pose \[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt. \] Montrer que \(B(x,y)\) existe si et seulement si \(x>0\) et \(y>0\). Calculer \(B\left(...

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Exercice IG8

Étude d’une intégrale paramétrée Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\) converge. On note désormais: \[f(x)=\int_x...

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Exercice IG9

Fonction Gamma On pose, pour \(x\in\mathbb{R}\), \[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\,dt \] Prouver que \(\Gamma(x)\) existe si et seulement si \(x>0\). Vérifier que pour tout \...

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Exercice IG10

Calcul de \(~\int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx\) Soient: \[I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx \qquad \text{et}\qquad J = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x)\,dx\]. Montrer qu...

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Exercice IG11

Convergence et calcul de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt\) Soit \(x>0\). On pose \[ f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt. \] Justifier l’existence de \(f(x)\). ...

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Exercice IG12

Étude de convergence Montrer que \(\displaystyle I = \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx\) converge. En déduire que \(J = \displaystyle \int_1^{+\infty} x^3 \sin(x^8)\,dx\) et \(K = \...

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Exercice IG13

Soit \(f\in\mathcal{C}^0([1,+\infty[, \mathbb{R}_+)\) décroissante et intégrable sur \([1,+\infty[\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x f(x) = 0\). Indication : comparer \(\frac{x}{2}...

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Exercice IG14

Étudier l’intégrabilité sur \(]0,+\infty[\) de la fonction \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x} \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{ \ln\left(1+x\right)} \]...

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Exercice IG15

Intégrale de la partie entière Convergence et calcul de \[ \int_0^{+\infty} E(x)e^{-x}\,dx \] où \(E\) désigne la fonction partie entière....

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Exercice IG16

Intégrale de \(\frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\) Soit \(I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\,dx\). Prouver que \(I\) existe. Soient \(\varepsilon>0\) et \(A>0\). Calcul...

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Exercice IG17

Étude de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 t}{t^2}\,dt\) Montrer que: \[\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin t - t}{t^2}\,dt\] converge. a. Montrer que pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \[t - \f...

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Exercice IG18

Intégrale de \(~\frac{e^{it}}{1+it}\) Soit: \[I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{e^{it}}{1+it}\,dt \qquad \mbox{où} \qquad i^2=-1\] Justifier que \(~I~\) n’est pas absolument convergente...

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Exercice IG19

Limite d’une fonction intégrable Soit \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que: \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R} \qquad \text{et}\qquad \int_0^{+\infty} f(t)\,dt\...

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Exercice IG20

Intégrabilité et limites. Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que \(~f^2~\) et \(~f'^2~\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_+\). Prouver que \(~f f'~\) est intégrable su...

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Exercice IG21

Critère de comparaison Soient \(f,g,h\) trois fonctions continues par morceaux sur un intervalle \(I\) à valeurs réelles, telles que \(f\) et \(h\) soient intégrables sur \(I\) avec: \[\forall x\i...

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Exercice IG22

Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\). On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} f(k) - \int_0^n f(t)\,dt. \] Vérifier que \[ u_{n+1} - u_n = \int_n^{n+1} (t...

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Exrecice IG1

Nature des intégrales généralisées Étudier la nature (convergence/divergence) des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) dx\) \(...

Exercice IG2

Convergence avec paramètre Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{t^\alpha} \, dt \] converge. Déterminer \(a \in \mathbb{R}\) pour q...

Exercice IG3

Exercice IG3 – Existence et calcul d'intégrales Existence et calcul des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)}\) \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty...

Exercice IG4

Intégrale paramétrée \(I(a)\) Soit \(a>0\). On considère l’intégrale généralisée : \[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2 + \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}. \] Justifier l’existence de \(...

Exercice IG5

Calcul de \(I_n\) Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On pose \[ I_n = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}. \] Justifier l’existence de \(I_n\). Soient \(a_1,\d...

Exercice IG6

Intégrale \(\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}\) Soient \( a &lt b \) deux réels. Existence et calcul de: \[ I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}. \] Indication : effectuer le changemen...

Exercice IG7

Fonction Bêta Soit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). On pose \[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt. \] Montrer que \(B(x,y)\) existe si et seulement si \(x>0\) et \(y>0\). Calculer \(B\left(...

Exercice IG8

Étude d’une intégrale paramétrée Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\) converge. On note désormais: \[f(x)=\int_x...

Exercice IG9

Fonction Gamma On pose, pour \(x\in\mathbb{R}\), \[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\,dt \] Prouver que \(\Gamma(x)\) existe si et seulement si \(x>0\). Vérifier que pour tout \...

Exercice IG10

Calcul de \(~\int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx\) Soient: \[I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx \qquad \text{et}\qquad J = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x)\,dx\]. Montrer qu...

Exercice IG11

Convergence et calcul de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt\) Soit \(x>0\). On pose \[ f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt. \] Justifier l’existence de \(f(x)\). ...

Exercice IG12

Étude de convergence Montrer que \(\displaystyle I = \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx\) converge. En déduire que \(J = \displaystyle \int_1^{+\infty} x^3 \sin(x^8)\,dx\) et \(K = \...

Exercice IG13

Soit \(f\in\mathcal{C}^0([1,+\infty[, \mathbb{R}_+)\) décroissante et intégrable sur \([1,+\infty[\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x f(x) = 0\). Indication : comparer \(\frac{x}{2}...

Exercice IG14

Étudier l’intégrabilité sur \(]0,+\infty[\) de la fonction \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x} \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{ \ln\left(1+x\right)} \]...

Exercice IG15

Intégrale de la partie entière Convergence et calcul de \[ \int_0^{+\infty} E(x)e^{-x}\,dx \] où \(E\) désigne la fonction partie entière....

Exercice IG16

Intégrale de \(\frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\) Soit \(I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\,dx\). Prouver que \(I\) existe. Soient \(\varepsilon>0\) et \(A>0\). Calcul...

Exercice IG17

Étude de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 t}{t^2}\,dt\) Montrer que: \[\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin t - t}{t^2}\,dt\] converge. a. Montrer que pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \[t - \f...

Exercice IG18

Intégrale de \(~\frac{e^{it}}{1+it}\) Soit: \[I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{e^{it}}{1+it}\,dt \qquad \mbox{où} \qquad i^2=-1\] Justifier que \(~I~\) n’est pas absolument convergente...

Exercice IG19

Limite d’une fonction intégrable Soit \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que: \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R} \qquad \text{et}\qquad \int_0^{+\infty} f(t)\,dt\...

Exercice IG20

Intégrabilité et limites. Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que \(~f^2~\) et \(~f'^2~\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_+\). Prouver que \(~f f'~\) est intégrable su...

Exercice IG21

Critère de comparaison Soient \(f,g,h\) trois fonctions continues par morceaux sur un intervalle \(I\) à valeurs réelles, telles que \(f\) et \(h\) soient intégrables sur \(I\) avec: \[\forall x\i...

Exercice IG22

Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\). On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} f(k) - \int_0^n f(t)\,dt. \] Vérifier que \[ u_{n+1} - u_n = \int_n^{n+1} (t...