Algèbre Linéaire - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice ALG-LIN 1

Soit $ (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 $. Les fonctions $ x \mapsto \sin(x + a_k) $ sont-elles linéairement indépendantes ?...

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Exercice ALG-LIN 2

Montrer que les fonctions définies sur $ ]0, +\infty[ $ par : \[ f_1 : x \mapsto x \quad f_2 : x \mapsto x^2 \quad f_3 : x \mapsto x \ln(x) \quad f_4 : x \mapsto x^2 \ln(x) \] sont linéairement indé...

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Exercice ALG-LIN 3

Soit $ E $ un espace vectoriel complexe. On prend des vecteurs $ v_1, \dots, v_n $ de $ E $. Soit $ A $ une matrice de $ \text{GL}_n(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse : \[ \forall i \in [\![ 1, n ]...

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Exercice ALG-LIN 4

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f \in \mathcal{L}(E) $. Montrer les équivalences suivantes : \[ \text{Im}(f) \cap \text{Ker}(f) = \{0\} \iff \text{Ker}(f) = \text{Ker}(f^2) \] ...

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Exercice ALG-LIN 5

Soient $ f $ et $ g $ dans $ \mathcal{L}(E, F) $, où $ E $ et $ F $ sont de dimension finie. Démontrer l'encadrement suivant : \[ |\text{rg}(f) - \text{rg}(g)| \leqslant \text{rg}(f + g) \leqslant \t...

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Exercice ALG-LIN 6

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On considère deux endomorphismes $ f $ et $ g $ de $ E $ et on fait les hypothèses suivantes : \[ f + g = \text{Id}_E \quad \text{et} \quad \text{rg...

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Exercice ALG-LIN 7

Soit $ f $ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel $ E $. On suppose que pour tout $ x \in E \setminus \{0_E\} $, la famille $ (x, f(x)) $ est linéairement dépendante. Montrer qu'il ex...

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Exercice ALG-LIN 8

Soient $ p $ et $ q $ deux projecteurs d'un espace vectoriel $ E $. Montrer que si $ p $ et $ q $ commutent, alors $ p \circ q $ est un projecteur, dont on exprimera le noyau et l'image en fonction de...

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Exercice ALG-LIN 9

Soient $ E, F, G $ des $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ f \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ g \in \mathcal{L}(F, G) $. Démontrer l'égalité : \[ \dim(\text{Im}(...

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Exercice ALG-LIN 10

On pose $ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Soit $ M $ une matrice de $ \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse $ M^2 = N $. Justifier que $ M $ ...

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Exercice ALG-LIN 11

Exercice 11 (**) Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie, donc la dimension est notée $ n $. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $. On suppose que $ f $ est nilpotent, ce qui signifie qu'il...

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Exercice ALG-LIN 12

Une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est une matrice triangulaire supérieure de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. ...

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Exercice ALG-LIN 13

Soient $ E $, $ F $ et $ G $ trois $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ u \in \mathcal{L}(E, G) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer que l'inclusion $ \text{Im}(u) \sub...

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Exercice ALG-LIN 14

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ p $. Soit $ F $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $. Soit $ E_1 $ un sous-espace vectoriel de $ E $ de dimension $ p_1 $...

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Exercice ALG-LIN 15

Montrer que les matrices: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] s...

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Exercice ALG-LIN 16

Montrer que la matrice $ A = (\sin(i+j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ est de rang 2....

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Exercice ALG-LIN 17

Trouver tous les couples $ (A, B) $ de matrices de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ vérifiant les égalités $ AB = BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $....

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Exercice ALG-LIN 18

On note $ (E_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ la base canonique de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Pour tout quadruplet $ (i, j, k, \ell) $ d'indices de $ [\![ 1, n ]\!] $, montrer l'égal...

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Exercice ALG-LIN 19

On fixe $ A $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et on définit l'endomorphisme: \begin{align} \Phi_A: \quad \mathcal{M}_n(\Bbb R) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\Bbb R)\\ X &\longmapsto XA \\...

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Exercice ALG-LIN 20

On considère une matrice $ M = (m_{j,k})_{1 \leqslant j, k \leqslant n} $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ et on suppose que $ M $ est une matrice à diagonale dominante selon les lignes, ce qui s'écri...

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Exercice ALG-LIN 21

On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous ...

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Exercice ALG-LIN 22

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $ F $ et $ G $ deux sous-espaces vectoriels de $ E $ ayant même dimension. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $ E $ qui soit à ...

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Exercice ALG-LIN 23

Soient $ E, F, G $ trois espaces vectoriels de dimension finie. On considère $ u \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer les inégalités \[ \text{rg}(v \circ u) \leqslant \min...

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Exercice ALG-LIN 24

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ A $ est de rang 1. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $ X $ et $ Y $ non nuls tels que $ ~A = X \cdot Y^{\text{T}} $. En ...

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Exercice ALG-LIN 25

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On note $ r $ le rang de $ A $. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $~ X_1, \dots, X_r, Y_1, \dots, Y_r ~$; tels que: \[ A = \sum_{k=1}^r X_k \cdot ...

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Exercice ALG-LIN 26

Soit $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. On suppose que $ M $ n'est pas un multiple de $ I_n $. Montrer qu'il existe $ P \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) $ telle que $ P^{-1}MP $ ait $ E_2 $ pour p...

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Exercice ALG-LIN 27

Soit $ (a,b,c) \in \mathbb{K}^3 $. Calculer : \[ \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix} \]...

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Exercice ALG-LIN 28

Soit $ A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ Calculer le déterminant de la matrice de coefficients $~~ a_{i,j} = \max(i, j) $....

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Exercice ALG-LIN 29

Soient $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et tout $ z $ dans $ \mathbb{C}^* $, Soit $ M_n(z) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ z + \frac{1}{z} $, les coefficient...

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Exercice ALG-LIN 30

Soient $ A, B, C $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calculer le déterminant de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & C \end{pmatrix} $....

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Exercice ALG-LIN 31

Soit $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer l'égalité $ \det\begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_n - B^2) $....

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Exercice ALG-LIN 32

Soit $ C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que l'égalité: \[ \det(C + M) = \det(M) \] a lieu pour toute matrice $ M $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $ C $ est nulle. Pou...

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Exercice ALG-LIN 33

Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme : \begin{align} T :\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\ M &\longmapsto M^{\text{T}} \end{align}...

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Exercice ALG-LIN 34

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calucler le determinant de l'endomorphisme: \begin{align} \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longmapsto \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ M &\longmapsto AM \end{al...

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Exercice ALG-LIN 35

On fixe un entier $ n \geqslant 2 $. Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que la fonction \[ \begin{align*} f_{A,B} : \mathbb{K} &\longrighta...

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Exercice ALG-LIN 36

Soit un entier $ n \geqslant 2 $. On pose $ \omega = \exp(i2\pi/n) $. On note $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ de coefficients $ a_{p,q} = \omega^{(p-1)(q-1)} $. Calculer un a...

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Exercice RedEndo 20

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ Trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \] ...

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Exercice ALG-LIN 1

Soit $ (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 $. Les fonctions $ x \mapsto \sin(x + a_k) $ sont-elles linéairement indépendantes ?...

Exercice ALG-LIN 2

Montrer que les fonctions définies sur $ ]0, +\infty[ $ par : \[ f_1 : x \mapsto x \quad f_2 : x \mapsto x^2 \quad f_3 : x \mapsto x \ln(x) \quad f_4 : x \mapsto x^2 \ln(x) \] sont linéairement indé...

Exercice ALG-LIN 3

Soit $ E $ un espace vectoriel complexe. On prend des vecteurs $ v_1, \dots, v_n $ de $ E $. Soit $ A $ une matrice de $ \text{GL}_n(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse : \[ \forall i \in [\![ 1, n ]...

Exercice ALG-LIN 4

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f \in \mathcal{L}(E) $. Montrer les équivalences suivantes : \[ \text{Im}(f) \cap \text{Ker}(f) = \{0\} \iff \text{Ker}(f) = \text{Ker}(f^2) \] ...

Exercice ALG-LIN 5

Soient $ f $ et $ g $ dans $ \mathcal{L}(E, F) $, où $ E $ et $ F $ sont de dimension finie. Démontrer l'encadrement suivant : \[ |\text{rg}(f) - \text{rg}(g)| \leqslant \text{rg}(f + g) \leqslant \t...

Exercice ALG-LIN 6

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On considère deux endomorphismes $ f $ et $ g $ de $ E $ et on fait les hypothèses suivantes : \[ f + g = \text{Id}_E \quad \text{et} \quad \text{rg...

Exercice ALG-LIN 7

Soit $ f $ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel $ E $. On suppose que pour tout $ x \in E \setminus \{0_E\} $, la famille $ (x, f(x)) $ est linéairement dépendante. Montrer qu'il ex...

Exercice ALG-LIN 8

Soient $ p $ et $ q $ deux projecteurs d'un espace vectoriel $ E $. Montrer que si $ p $ et $ q $ commutent, alors $ p \circ q $ est un projecteur, dont on exprimera le noyau et l'image en fonction de...

Exercice ALG-LIN 9

Soient $ E, F, G $ des $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ f \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ g \in \mathcal{L}(F, G) $. Démontrer l'égalité : \[ \dim(\text{Im}(...

Exercice ALG-LIN 10

On pose $ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Soit $ M $ une matrice de $ \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse $ M^2 = N $. Justifier que $ M $ ...

Exercice ALG-LIN 11

Exercice 11 (**) Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie, donc la dimension est notée $ n $. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $. On suppose que $ f $ est nilpotent, ce qui signifie qu'il...

Exercice ALG-LIN 12

Une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est une matrice triangulaire supérieure de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. ...

Exercice ALG-LIN 13

Soient $ E $, $ F $ et $ G $ trois $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ u \in \mathcal{L}(E, G) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer que l'inclusion $ \text{Im}(u) \sub...

Exercice ALG-LIN 14

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ p $. Soit $ F $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $. Soit $ E_1 $ un sous-espace vectoriel de $ E $ de dimension $ p_1 $...

Exercice ALG-LIN 15

Montrer que les matrices: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] s...

Exercice ALG-LIN 16

Montrer que la matrice $ A = (\sin(i+j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ est de rang 2....

Exercice ALG-LIN 17

Trouver tous les couples $ (A, B) $ de matrices de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ vérifiant les égalités $ AB = BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $....

Exercice ALG-LIN 18

On note $ (E_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ la base canonique de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Pour tout quadruplet $ (i, j, k, \ell) $ d'indices de $ [\![ 1, n ]\!] $, montrer l'égal...

Exercice ALG-LIN 19

On fixe $ A $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et on définit l'endomorphisme: \begin{align} \Phi_A: \quad \mathcal{M}_n(\Bbb R) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\Bbb R)\\ X &\longmapsto XA \\...

Exercice ALG-LIN 20

On considère une matrice $ M = (m_{j,k})_{1 \leqslant j, k \leqslant n} $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ et on suppose que $ M $ est une matrice à diagonale dominante selon les lignes, ce qui s'écri...

Exercice ALG-LIN 21

On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous ...

Exercice ALG-LIN 22

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $ F $ et $ G $ deux sous-espaces vectoriels de $ E $ ayant même dimension. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $ E $ qui soit à ...

Exercice ALG-LIN 23

Soient $ E, F, G $ trois espaces vectoriels de dimension finie. On considère $ u \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer les inégalités \[ \text{rg}(v \circ u) \leqslant \min...

Exercice ALG-LIN 24

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ A $ est de rang 1. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $ X $ et $ Y $ non nuls tels que $ ~A = X \cdot Y^{\text{T}} $. En ...

Exercice ALG-LIN 25

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On note $ r $ le rang de $ A $. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $~ X_1, \dots, X_r, Y_1, \dots, Y_r ~$; tels que: \[ A = \sum_{k=1}^r X_k \cdot ...

Exercice ALG-LIN 26

Soit $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. On suppose que $ M $ n'est pas un multiple de $ I_n $. Montrer qu'il existe $ P \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) $ telle que $ P^{-1}MP $ ait $ E_2 $ pour p...

Exercice ALG-LIN 27

Soit $ (a,b,c) \in \mathbb{K}^3 $. Calculer : \[ \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix} \]...

Exercice ALG-LIN 28

Soit $ A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ Calculer le déterminant de la matrice de coefficients $~~ a_{i,j} = \max(i, j) $....

Exercice ALG-LIN 29

Soient $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et tout $ z $ dans $ \mathbb{C}^* $, Soit $ M_n(z) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ z + \frac{1}{z} $, les coefficient...

Exercice ALG-LIN 30

Soient $ A, B, C $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calculer le déterminant de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & C \end{pmatrix} $....

Exercice ALG-LIN 31

Soit $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer l'égalité $ \det\begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_n - B^2) $....

Exercice ALG-LIN 32

Soit $ C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que l'égalité: \[ \det(C + M) = \det(M) \] a lieu pour toute matrice $ M $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $ C $ est nulle. Pou...

Exercice ALG-LIN 33

Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme : \begin{align} T :\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\ M &\longmapsto M^{\text{T}} \end{align}...

Exercice ALG-LIN 34

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calucler le determinant de l'endomorphisme: \begin{align} \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longmapsto \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ M &\longmapsto AM \end{al...

Exercice ALG-LIN 35

On fixe un entier $ n \geqslant 2 $. Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que la fonction \[ \begin{align*} f_{A,B} : \mathbb{K} &\longrighta...

Exercice ALG-LIN 36

Soit un entier $ n \geqslant 2 $. On pose $ \omega = \exp(i2\pi/n) $. On note $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ de coefficients $ a_{p,q} = \omega^{(p-1)(q-1)} $. Calculer un a...

Exercice RedEndo 20

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ Trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \] ...