Exercices Corrigés (Page 5) - Mathématiques Bac & High School

Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...

Nombres complexes Solution Posted by admin on 5 novembre 2025

Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...

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Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...

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Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...

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Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...

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Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...

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Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...

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Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...

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Exercice N10

Soient: $n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

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Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...

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Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...

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Exercice N12bis

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....

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Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...

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Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...

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Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...

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MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...

Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...

Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...

Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...

Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...

Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...

Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...

Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...

Exercice N10

Soient: $n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...

Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...

Exercice N12bis

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....

Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...

Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...

Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...

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Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...

Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...

Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...

Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...

Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...

Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...

Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...

Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...

Exercice N10

Soient: $~~n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $~~|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...

Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...

Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...

Exercice N12bis

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....

Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...

Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...

Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...

Soient: $n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...