- Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\]
- Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad z~=~1+i(1+\sqrt{2})$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On a: $z=r+re^{i\theta}=r(1+e^{i\theta})\qquad \text{avec: }~~(~r>0~)$
D'après l'exercice précédent on a:
$~~1+e^{i\theta}=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2}\right)}$
Par la suite: $~~z=2r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2}\right)}$
Or: $~~0\leq \theta <2\pi~~$ et donc $~~0\leq \dfrac{\theta}{2}<\pi$
On en déduit:
Si: $~~\left(0\leq \theta <\pi\right)~~$ alors: \begin{cases} |z|&=2r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\\ \arg z&=\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\end{cases} Si: $~~\left(\pi\leq \theta <2\pi\right)~~$ alors: \begin{cases} |z|&=-2r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\\ \arg z&=\pi+\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \end{cases} - On a:
\begin{align*}
z&=1+i(1+\sqrt 2)=(1+i)+i\sqrt{2}\\
z&=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}+i\sqrt{2}=\sqrt{2}(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{i\frac{\pi}{2}})\\
z&=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}(1+e^{i\frac{\pi}{4}})\\
z&=e^{i\frac{\pi}{4}}(~2\sqrt{2}~\cos(\pi/8)~e^{i\frac{\pi}{8}})\quad \mbox{(en utilisant la question précédente)}
\end{align*}
Soit: $\quad z=2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)e^{i\frac{3\pi}{8}}$
Or on a: $$\cos(\frac{\pi}{8})=\sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{4})}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$ On en déduit: \begin{cases} |z|&=\sqrt{4+2\sqrt 2}\\\\ \arg z&= \dfrac{3\pi}{8}\\ \end{cases}