Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$.
DĂ©montrer que:
$$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$
est un réel.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Posons:
$$Z=\dfrac{z+z'}{1+zz'}$$
On a:
$$|z|=|z'|=1\Rightarrow z\bar z=z'\bar{z'}=1$$
Et donc: $$\bar z=\dfrac{1}{z}\qquad \bar{ z'}=\dfrac{1}{z'}$$
Par la suite:
\begin{align*}
\overline{ Z}&=\dfrac{\bar{z} +\bar{z'}}{1+\bar{z}\bar{z'}}\\
\overline{Z}&=\dfrac{\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z'} }{1+\dfrac{1}{z}\times\dfrac{1}{z'}}\\
\overline{Z}&=\dfrac{z+z'}{1+zz'}
\end{align*}
Soit:
$$Z=\overline{Z}$$
Ce qui prouve que $~Z~$ est un nombre réel.