Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soient:
$$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$
Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrightarrow{AM'}\right)}.$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- La similitude plane, directe, qui au point $~M,~$ d'affixe $~z~$ associe le point d'affixe $~M'~$ d'affixe $~z'~$ admet comme point fixe le point $~A~$ d'affixe $~(-\dfrac{\sqrt 3}{3})~$:
En effet, le point fixe est donné par l'équation:$~~z'=z$
Ce qui implique: $~~(1+i\sqrt 3)z+i=z$
Et donc: $~~i\sqrt{3}z = i$
Soit: $~~z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Donc: A est le point fixe de la transfromation.
Donc on a:
$$\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{3}\right)+i=-\dfrac{\sqrt 3}{3}$$ $$z'-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\left((1+i\sqrt 3)z+i\right)-\left(\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{3}\right)+i\right)$$ Par la suite:
$$z'+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\left(1+i\sqrt 3\right)\left(z+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$$ Soit: $$z'+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}\left(z+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$$ L'affixe de $~\overrightarrow{AM}~$ est: $$\color{purple}\boxed{~z+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$$ L'affixe de $~\overrightarrow{AM}~$ est: $$\color{purple}\boxed{~2e^{i\frac{\pi}{3}}\left(z+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}$$ On voit donc que $~~\overrightarrow{AM'}~$ s'obtient à partir de $~\overrightarrow{AM}~$ par une rotation de centre $~A~$ d'angle $~\frac{\pi}{3}~$ suivie d'une homothétie de centre $~A~$ et de rapport $~2~$