- Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$
- Calculer: $$\quad \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n}$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Posons:
$$T_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}}$$
$T_n~$ représente la somme des $~n~$ premiers termes de la suite géométrique de nombres complexes, $~~e^{i\frac{k\pi}{n}}$
L'expression de $~T_n~$ se déduit comme suit: \begin{align*} T_n&=\dfrac{1-e^{i\frac{n\pi}{n}}}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}\\\\ T_n&=\dfrac{2}{e^{i\frac{\pi}{2n}}(e^{-i\frac{\pi}{2n}}-e^{i\frac{\pi}{2n}})}\\\\ T_n &=\frac{2}{-2i\sin\left( \frac{\pi}{2n}\right)e^{i\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}\\\\ T_n &=\dfrac{ie^{-i\left(\frac{\pi}{2n}\right)}}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\\\\ \end{align*} On a donc: $$~~S_n=\Im{\left(T_n\right)}=\dfrac{\cos\left( \frac{\pi}{2n} \right)}{\sin\left( \frac{\pi}{2n} \right)}$$ - On sait que:
$$~~\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)=1$$
Ceci implique:
$$\lim\limits_{n \to \infty}n\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2}\right) \left(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{(\frac{\pi}{2n})}\right)=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$$
D'autre part: $$~~\lim\limits_{n\to \infty}{\cos\left( \dfrac{\pi}{2n}\right)}=1$$ On en déduit: $$\lim\limits_{n\longrightarrow + \infty} \left(\dfrac{S_n}{n}\right)=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cos\left( \frac{\pi}{2n} \right)}{n\sin\left( \frac{\pi}{2n} \right)}=\left(\dfrac{2}{\pi}\right)$$