- $\left|z\right|=1$
- $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $z$ un nombre complexe différent de 1;
DĂ©montrer l'Ă©quivalence des deux propostions :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On va démontrer les deux implications:
Posons: $$~~Z=\dfrac{1+z}{1-z}$$
Posons: $$~~Z=\dfrac{1+z}{1-z}$$
- Condition suffisante:
Si $~~|z|=1~~$ alors:
\begin{align*} \overline{Z}&=\dfrac{1+\bar{z}}{1-\bar z}\\ \overline{Z}&=\dfrac{1+\dfrac{1}{z}}{1-\dfrac{1}{z}}\\ \overline Z&=\dfrac{1+z}{z-1} \end{align*} Soit: $$\overline Z=-Z$$ Donc $~Z~$ est purement imaginaire
- Condition nécessaire:
Si $Z$ est imaginaire pur alors: $$~~ \overline{Z}=- Z\Longrightarrow \dfrac{1+\bar z}{1-\bar z}=-\dfrac{1+z}{1-z} $$ Ce qui donne: $$(1+\bar{z})(z-1)=(1-\bar{z})(1+z))$$ En simplifiant on trouve: $$2z\bar z=2\Longrightarrow z\bar z=|z|^2=1$$ Soit: $$~~|z|=1$$ Ce qui achÚve la démonstration de l'équivalence.