Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a :
$$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$
Donner une interprétation géométrique de ce résultat
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On a:
\begin{align*}
|u+v|^2&=(u+v)(\bar u +\bar v)\\
|u+v|^2&=u\bar{u}+u\bar{v}+v\bar{u} + v\bar v\\
|u+v|^2&=(|u|^2+|v|^2)+ (u\bar{v}+v\bar{u}) \qquad (1)
\end{align*}
\begin{align*}
|u-v|^2&=(u-v)(\bar{u}-\bar{v})\\
|u-v|^2&=u\bar{u}-u\bar{v}-v\bar{u}+v\bar{v}\\
|u-v|^2&=(|u|^2+|v|^2)-(u\bar{v}+v\bar{u})\qquad (2)
\end{align*}
En additionnant membre Ă membre $~(1)~$ et $~(2)~$ on trouve:
$$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2 + |v|^2)$$
Cette égalité s'appelle l'identité du parallélogramme; et comme son nom l'indique elle traduit tout simplement que la somme des carrés des diagonales d'un parrallélogramme est Úgale au double de la somme des carrés des cotés adjacents .