Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué.
Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression :
$$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2+\overline{z}^2)\ldots(z^n+\overline{z}^n)$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On a:
$$z=\rho e^{i\theta}$$
Ce qui implique:
$$z^k=\rho^ke^{ik\theta}\qquad\text{et}\qquad {\bar z}^k=\rho^ke^{-ik\theta}$$
Et donc:
$$z^k +{\bar{z}}^k=2\rho^k\cos(k\theta)$$
On en déduit: $$\prod\limits_{k=1}^n{(z^k+\bar{z}^k)}=
\prod\limits_{k=1}^n{2\rho^k\cos(k\theta)}=2^n\rho^{(1+2+\cdots+n)}\prod\limits_{k=1}^n{\cos(k\theta)}$$
Soit:
$$\prod\limits_{k=1}^n{(z^k+\bar{z}^k)}=2^n\rho^{\frac{n(n+1)}{2}}\prod\limits_{k=1}^n{\cos(k\theta)}$$