Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que:
$$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
L'équation: $~~ |z|=\left|\dfrac{1}{z} \right|~~$ est équivalente à: $~~|z|^2=1~~$
Et donc: $$|z|=1$$ Et puisque par hypoyhèse $~(~|z|=|1-z|~)~$ on a : $$|1-z|=1=|1-z|^2$$ Par conséquent: $$|1-z|=(1-z)(1-\bar z)=1$$ Par la suite: $$1-(z+\bar z)+z\bar z=1$$ On obtient: $$2\mathcal{R}e(z)=2x=1$$ Soit: $$x=\dfrac{1}{2}$$ Or: $$x^2+y^2=|z|^2=1~\Longrightarrow~ y^2=\dfrac{3}{4}$$ Finalement: $$\color{magenta}\boxed{~z=\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}~}$$
Et donc: $$|z|=1$$ Et puisque par hypoyhèse $~(~|z|=|1-z|~)~$ on a : $$|1-z|=1=|1-z|^2$$ Par conséquent: $$|1-z|=(1-z)(1-\bar z)=1$$ Par la suite: $$1-(z+\bar z)+z\bar z=1$$ On obtient: $$2\mathcal{R}e(z)=2x=1$$ Soit: $$x=\dfrac{1}{2}$$ Or: $$x^2+y^2=|z|^2=1~\Longrightarrow~ y^2=\dfrac{3}{4}$$ Finalement: $$\color{magenta}\boxed{~z=\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}~}$$