Exercices Corrigés (Page 9) - Mathématiques Bac & High School

Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...

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Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^\times R} \text{ et }G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

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Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB \text{est un so...

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Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...

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Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G$ tel que: $...

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Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $A$ est un anneaux commutatif M...

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Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $n\mathbb Z$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice P1

$(E,p)$ un espace probabilisé, et $~A,B,C~$ trois évènements de $~E$. Montrer que: $~B=(B\cap A) \cup (B\cap\bar{A})~$ En déduire que: $$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\bar{A})$$ Tracer le diagramme...

Probabilités Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice P2

On lance simultanément 4 dés. Calculer la probabilité p pour que les quatre nombres obtenus soient tous différents. Calculer la probailité p pour que les 4 nombres obtenues soient consécutifs. ...

Probabilités Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...

Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...

Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...

Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...

Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^\times R} \text{ et }G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB \text{est un so...

Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...

Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G$ tel que: $...

Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $A$ est un anneaux commutatif M...

Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $n\mathbb Z$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...

Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...

Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...

Exercice P1

$(E,p)$ un espace probabilisé, et $~A,B,C~$ trois évènements de $~E$. Montrer que: $~B=(B\cap A) \cup (B\cap\bar{A})~$ En déduire que: $$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\bar{A})$$ Tracer le diagramme...

Exercice P2

On lance simultanément 4 dés. Calculer la probabilité p pour que les quatre nombres obtenus soient tous différents. Calculer la probailité p pour que les 4 nombres obtenues soient consécutifs. ...

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Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...

Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...

Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...

Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...

Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^*\times R}~~ \text{ et }~~G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align*}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $~~A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB~~ \text{est un so...

Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...

Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G~~$ tel que: $~~...

Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $~~A~~$ est un anneaux commutatif M...

Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $~~n\mathbb Z~~$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...

Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...

Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...

Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...

Exercice P1

$(E,p)$ un espace probabilisé, et $~A,B,C~$ trois évènements de $~E$. Montrer que: $~B=(B\cap A) \cup (B\cap\bar{A})~$ En déduire que: $$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\bar{A})$$ Tracer le diagramme...

Exercice P2

On lance simultanément 4 dés. Calculer la probabilité p pour que les quatre nombres obtenus soient tous différents. Calculer la probailité p pour que les 4 nombres obtenues soient consécutifs. ...

Soient: $E=\mathbb{R^\times R} \text{ et }G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB \text{est un so...

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G$ tel que: $...

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $A$ est un anneaux commutatif M...

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $n\mathbb Z$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...