Exercices Corrigés (Page 8) - Mathématiques Bac & High School

Exercice E16

Dans $\mathbb{R}^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3,\vec{e}_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres? $(\vec{e}_1,~2\vec{e}_2,~\vec{e}_3)$; ...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E17

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivants et en déduire leur dimension. $F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 / x - y = 0\right\}~~~$ dans $~\mathbb R^2$. $F_2 = \left\{(x, y,...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E18

Soit: $$P_1=X^2+1,~ P_2=X^2+X-1,~P_3=X^2+X$$ Montrer que la famille $~\left(P_1,P_2,P_3\right)~$ est une base de $~\mathbb R_2[X].$...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E19

Soit: $$~E = \left\{~P \in \mathbb R_3[X]: P(-1) = 0 ~\text{ et }~ ~~P(1) = 0~\right\}$$ Montrer que $~E~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb R_3[X]$ Déterminer une base et la dim...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E20

Déterminer un système d'équations des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ engendrés par les vecteurs suivants : $~u_1 = (1, 2, 3)$. $~u_1 = (1, 2, 3)$ et $u_2 = (-1, 0, 1)$. $~u_1 = (...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E21

Montrer que dans $\mathbb R^2$ les deux vecteurs: $$u = (1, 1, 0),v = (1, 0, 1)$$ engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs: $$x = (1, 3, -2),~~~~y = (1, 4, -3)$$....

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 6 novembre 2025

Exercice E22

Soient $$F = \{(x, y, z) ~|~ x + y - z = 0\} \qquad \text{et}\qquad G = \{(a-b, a+b, a-3b) ~|~ a,b\in\mathbb R\}.$$ Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Dét...

Espaces vectoriels Solution Posted by admin on 7 novembre 2025

Exercice S1

Les questions sont indépendantes. La division est-elle une loi de composition interne dans l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs ? Dans l'ensemble $\mathbb Q^*$ des nombres rationnels ...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S2

On note $~E~$ l'ensemble: $~E=\{0,1,2,3,4,5\}$. On définit dans $~E~$ une loi $~\ast~$ de la manière suivante : pour tout couple $~(a,b)~$ d'éléments de $~E~$, $(~a~\ast~b~)~$ est le reste de la di...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S3

Soit $~\ast~$ la loi de composition interne définie sur $~\mathbb Z~$ par: \[ x\ast~y~=~x+y-2\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in\mathbb Z^2 \] Montrer que $~\ast~$ est commutative et associative d...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S4

On définie sur $~I=\left]1~;~+\infty\right[~$ la loi $\bot$ par : \[ x~\bot~y~=~\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in I^2. \] Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition i...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S5

On pose $~E~=~\left]-1~;~1\right[.~$ On définie sur $~E~$ la loi $\mathbb{T}$ par : \[ x\mathbb{T}~y~=~\dfrac{x+y}{1+xy}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in E^2. \] Montrer que $~\mathbb{T}~$ est...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S5bis

On définit sur $\mathbb R$ la loi $~\ast~$ par : \[ x\ast~y~=~xy+ \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\qquad \forall (x~,~y)\in \mathbb R^2. \] $\ast~$ est-elle commutative ? associative ? ...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S6

Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\ \end{pmatrix}$$ ...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

Exercice S7

Soit $~(G,\ast )~$ un groupe et $~a\in G~$. On définit les applications définies sur $~G~$ par: $$f(x)=a\ast x \text{et} g(x)=x\ast a$$ Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives. On ...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 8 novembre 2025

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