Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$.
On suppose, en plus que:
$$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$
Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Structures algébriques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Commutativité de la loi
Pour tout $x\in G$ on a: $$x^2=x\cdot x=e$$ Et donc: $$x^{-1}\cdot x\cdot x=x^{-1}$$ Soit: $$x=x^{-1}\qquad (*)$$ D'aprÚs (*) on a: $$ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$$ Et donc: $$ab=ba$$ Par conséquent:$(G,\cdot)~$ est un groupe commutatif.