1. Anti-commutativité de la loi $\top$

Par hypothèse, $(A,+,\times)$ est un anneau non commutatif.

Soient $(x, y) \in A^2$.
Par définition de la loi $\top$ :

• $x \top y = xy - yx$
• $y \top x = yx - xy$

Soit: $x \top y = -(y \top x)$

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2. Non-associativité de la loi $\top$

Montrons qu'en général on a: $$x \top (x \top y) \neq (x \top x) \top y$$ Remarquons tout d'abord que: $$x\top x=0\qquad \text{et}\qquad x\top 0=0$$ Raisonnons par l'absurde et supposons que pour tou $(x,y)$ on a: $$x \top (x \top y)=(x\top x)\top y$$ Or: $$(x\top x)\top y=0\top y=0$$ Donc on doit avoir pour tout (x,y): $$x \top (x \top y)=0$$ Or cette égalité n'est pas toujours vérifié en général.
Contre exemple:
dans l'anneau unitaire non commutatif des matrices carrés d'ordre 2, on considère:
$$x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\qquad y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Pour cet exemple on vérifie (faites-le) que: $$x\top (x\top y)= \begin{pmatrix} 0 & -2\\0 & 0 \end{pmatrix}$$ qui est est non nul. Contradiction! Ainsi on a prouvé que la loi $\top$ n'est pas associative en général.

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3. Absence d'élément neutre

Supposons qu'il existe un élément neutre $e \in A$ pour la loi $\top$, alors pour tout $x \in A$, on devrait avoir: $$e \top e =e=0$$

• On a donc: $e=0$
• Si $e = 0$, alors pour tout $x$, on doit avoir d'une part, $x \top 0 = x$ et d'autre part $x\top 0 = 0$
• Pour que $0$ soit neutre, il faudrait que $A=\lbrace 0 \rbrace $; ce qui est absurde dans un anneau unitaire non trivial.

L'ensemble $A$ n'admet donc pas d'élément neutre pour la loi $\top$.

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4. Distributivité par rapport à l'addition

Soient $(x, y, z) \in A^3$. Étudions $x \top (y + z)$ :

• $x \top (y + z) = x(y + z) - (y + z)x$
• Par distributivité de $\times$ sur $+$ dans l'anneau $A$ :
  $x \top (y + z) = (xy + xz) - (yx + zx)$
• En réorganisant les termes :
  $x \top (y + z) = (xy - yx) + (xz - zx) = (x \top y) + (x \top z)$

La loi $\top$ est distributive par rapport à l'addition. (La distributivité à droite se déduit par l'anti-commutativité).

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5. Identité de Jacobi

Développons la somme $S = x \top (y \top z) + y \top (z \top x) + z \top (x \top y)$ :

• $x \top (y \top z) = xyz - xzy - yzx + zyx$
• $y \top (z \top x) = yzx - yxz - zxy + xzy$
• $z \top (x \top y) = zxy - zyx - xyz + yxz$

En sommant les trois lignes on trouve: $$S=0$$