- Montrer que: $~B=(B\cap A) \cup (B\cap\bar{A})~$
- En déduire que: $$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\bar{A})$$
- Tracer le diagramme de Venn pour les ensembles $~A,B~$ et Montrer que: $$A\cup B = A\cup (B\cap \bar{A})$$
- En déduire que: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
- En appliquant la dernière relation deux fois; prouver que: $$~P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B \cap C)~$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
$(E,p)$ un espace probabilisé, et $~A,B,C~$ trois évènements de $~E$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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On a : $A \cup \bar{A} = E$
Et donc : \[ B = B \cap E = B \cap (A \cup \bar{A}) \] En utilisant la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion :
\[ B \cap (A \cup \bar{A}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A}) \] Soit : \[ B = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A}) \] -
Les évènements $A$ et $\bar{A}$ sont disjoints ($A \cap \bar{A} = \emptyset$). Il en est de même pour leurs sous-ensembles respectifs $(B \cap A)$ et $(B \cap \bar{A})$.
Par conséquent : \[ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) \] - D'après le diagramme de Venn, on a: \[A\cup B =A\cup (B\cap \bar{A})\] On peut également retrouver ce résultat en utilisant la distributivité de la réunion par rapport à l'intersection : \begin{align*} A \cup (B \cap \bar{A}) &= (A \cup B) \cap (A \cup \bar{A}) \\ &= (A \cup B) \cap E \\ &= A \cup B \end{align*}
-
D'après la question 3, on a :
\[ P(A \cup B) = P(A \cup (B \cap \bar{A})) \]
En outre on a :
\[ A \cap (B \cap \bar{A}) = (A \cap \bar{A}) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \]
Et par la suite :
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap \bar{A}) \]
D'après la question 2, on a : $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(B \cap A)$.
On en déduit donc : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] -
Posons : $B \cup C = D$
\begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= P(A \cup D) \\ &= P(A) + P(D) - P(A \cap D) \\ &= P(A) + P(D) - P(A \cap (B \cup C)) \\ &= P(A) + P(D) - P((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ &= P(A) + P(D) - \left( P(A \cap B) + P(A \cap C) - P((A \cap B) \cap (A \cap C)) \right) \end{align*} Or : $~~P(D) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$
Et $~~(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C$.
Donc : \begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\ &= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(A \cap B \cap C) \end{align*}