1. Montrons que: $\varphi_a \circ \varphi_b=\varphi_{ab}$
Soient $a, b \in \mathbb{R}^*_+$. Considérons un point $M(x, y)$ du plan $\mathcal{P}$.
On pose $M'(x', y') = \varphi_b(M)$ et $M''(x'', y'') = \varphi_a(M')$.
- Par définition de $\varphi_b$ :
\[ \begin{cases} x' = x + \log b \\ y' = by \end{cases} \]
- Par définition de $\varphi_a$ appliquée à $M'$ :
\[ \begin{cases} x'' = x' + \log a \\ y'' = ay' \end{cases} \]
- En substituant les coordonnées de $M'$ :
\begin{cases}
x'' = (x + \log b) + \log a \\
y'' = a(by) = (ab)y
\end{cases}
\begin{cases}
x"&= x + \log(ab)\\
y"&=(ab)y
\end{cases}
On reconnaît les équations de l'application $\varphi_{ab}$.
Ainsi, pour tout $M \in \mathcal{P}$:
$$(\varphi_a \circ \varphi_b)(M) = \varphi_{ab}(M)$$
D'où:
$$\varphi_a \circ \varphi_b = \varphi_{ab}$$
2. Loi de composition interne
Soient $\varphi_a$ et $\varphi_b$ deux éléments de $F$.
D'après la question précédente, $\varphi_a \circ \varphi_b = \varphi_{ab}$.
Comme $a, b \in \mathbb{R}^*_+$, le produit $ab$ appartient également à $\mathbb{R}^*_+$.
Par conséquent, $\varphi_{ab} \in F$.
La loi $\circ$ est donc une loi de composition interne sur $F$.
3. Isomorphisme de groupes
Considérons l'application :
\begin{align*}
f : &\mathbb{R}^*_+ \longrightarrow F\\
&a \longmapsto \varphi_a\\
\end{align*}
- Morphisme : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}^*_+$, on a $f(ab) = \varphi_{ab}$. Or, nous avons montré que $\varphi_{ab} = \varphi_a \circ \varphi_b$, soit $f(ab) = f(a) \circ f(b)$. $f$ est donc un morphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(F, \circ)$.
- Surjection : Par construction, tout élément $\varphi_a$ de $F$ possède au moins un antécédent $a \in \mathbb{R}^*_+$ par $f$.
- Injection : Soient $a, b \in \mathbb{R}^*_+$ tels que:
$$f(a) = f(b)$$
Alors:
$$\varphi_a = \varphi_b$$
En comparant les images de l'origine $(x,y)=(0,0)$, on obtient:
$$\log a = \log b$$
Soit:
$$a = b$$
Et f est donc injective.
$f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(F, \circ)$.
4. Structure de $(F, \circ)$
On sait que $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est un groupe commutatif.
Puisque $f$ est un isomorphisme de groupes, il transporte la structure du groupe de départ vers l'ensemble d'arrivée.
Ainsi, $(F, \circ)$ est un groupe commutatif.
5. Symétrique d'un élément
L'élément neutre de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est $1$. L'élément neutre de $(F, \circ)$ est donc:
$$\varphi_1=f(1)=\text{id}_{\mathcal P} $$
Le symétrique de $\varphi_a$ dans $(F, \circ)$ est donc :
\[ (\varphi_a)^{-1} = f\left(\frac{1}{a}\right) = \varphi_{\frac{1}{a}} \]
Le symétrique de $\varphi_a$ est l'application $\varphi_{1/a}$.