1. Preuve de $x + x = 0$

• Soit $x \in A$. Par hypothèse, tout élément est égal à son carré.
• Appliquons cette propriété à l'élément $(x + x)$ : \[ \begin{align*} x + x &= (x + x)^2 \\ x + x &= (x + x)(x + x) \\ x + x &= x^2 + x^2 + x^2 + x^2 \quad \text{(par distributivité)} \\ x + x &= x + x + x + x \quad \text{(car } x^2 = x) \end{align*} \]
• En simplifiant par $(x + x)$ à gauche (ou en ajoutant l'opposé), on obtient : \[ 0 = x + x \]
• Note : Ceci montre que tout élément est son propre opposé ($x = -x$).

2. Commutativité de l'anneau

• Soient $x, y \in A$. Appliquons la propriété du carré à leur somme : \[ \begin{align*} x + y &= (x + y)^2 \\ x + y &= x^2 + xy + yx + y^2 \\ x + y &= x + xy + yx + y \quad \text{(car } x^2=x \text{ et } y^2=y) \end{align*} \]
• En simplifiant par $x$ et $y$, il reste : \[ xy + yx = 0 \]
• D'après la question 1, nous savons que $yx + yx = 0$, donc $yx = -yx$.
• L'égalité $xy + yx = 0$ implique $xy = -yx$. Par conséquent : \[ xy = yx \]
• Conclusion : L'anneau $A$ est commutatif.

3. Preuve de $xy(x + y) = 0$

• Développons l'expression en utilisant la commutativité et la distributivité : \[ \begin{align*} xy(x + y) &= x^2y + xy^2 \\ &= xy + xy \quad \text{(car } y^2=y \text{ et } x^2=x) \end{align*} \]
• D'après la question 1, pour tout élément $z \in A$, on a $z + z = 0$.
• En posant $z = xy$, on obtient immédiatement : \[ xy + xy = 0 \]
• Conclusion : $\forall x, y \in A, xy(x + y) = 0$.