Démonstration de la structure de groupe

1. Symétrie à gauche

• Soit $x \in G$. Par hypothèse, il existe $y \in G$ tel que $x * y = e$.
• Pour ce $y$, il existe également un élément $z \in G$ tel que $y * z = e$ (existence d'un symétrique à droite pour tout élément).
On a : \begin{align*} x * y &= e \quad \text{par hypothèse}\\ x*y*z&= e*z \\ y*x*y*z&= y*e*z \\ (y*x)*(y*z)&= (y * e) * z \\ (y*x)*(e)&=(y)*z\quad \text{car: } y*z=e\text{ et } y*e=y \\ (y*x)&= y * z=e\\ \end{align*} Ainsi, $~~y * x = e$.
Tout symétrique à droite est donc aussi un symétrique à gauche.

2. Element neutre à gauche

• Soit $x \in G$ et $y$ son symétrique tel que $x * y = y * x = e$.
• Calculons $e * x$ : \[ \begin{align*} e * x &= (x * y) * x \\ &= x * (y * x) \quad \text{par associativité} \\ &= x * e \quad \text{car } y * x = e \\ &= x \quad \text{car } e \text{ est neutre à droite} \end{align*} \]
• Ainsi, $e * x = x$. L'élément $e$ est donc aussi un neutre à gauche.

3. Conclusion

• La loi $*$ est associative par hypothèse.
• Il existe un élément neutre $e$ tel que pour tout $~x\in G$: $$\forall x \in G, e * x = x * e = x$$
• Chaque élément $x$ admet un symétrique $y$ tel que: $$x * y = y * x = e$$
• Par conséquent:
  $~(G, \ast )~$ est un groupe.