Partie A : Étude du centre d'un groupe

On considère le centre $H$ du groupe $(G, \star)$ défini par $H = \{ a \in G \mid \forall x \in G, a \star x = x \star a \}$.

• 1. Non-vacuité : L'élément neutre $e$ commute avec tous les éléments de $G$ par définition ($e \star x = x \star e = x$), donc $e \in H$. Ainsi $H \neq \emptyset$.
• 2. Stabilité par la loi $\star$ : Soient $(a, b) \in H^2$. Pour tout $x \in G$ :
  $(a \star b) \star x = a \star (b \star x) = a \star (x \star b) = (a \star x) \star b = (x \star a) \star b = x \star (a \star b)$.
  L'élément $a \star b$ commute avec tout $x \in G$, donc $(a \star b) \in H$.
• 3. Stabilité par l'inverse : Soit $a \in H$. Pour tout $x \in G$, on a $a \star x = x \star a$. Comme vous l'avez démontré avec élégance :
  $a^{-1} \star x = (x^{-1} \star a)^{-1} = (a \star x^{-1})^{-1} = x \star a^{-1}$.
  L'élément $a^{-1}$ commute avec tout $x$, donc $a^{-1} \in H$.
• Conclusion : $H$ est un sous-groupe de $(G, \star)$.

Partie B : Étude du groupe symétrique $S_3$

Soit $E = \{a, b, c\}$. $S_3$ est le groupe des bijections de $E$ sur $E$. Son cardinal est $|S_3| = 3! = 6$.

• a) Sous-groupe engendré par $s$ : Soit $s$ le cycle $(a \ b \ c)$. On a $s^2 = (a \ c \ b)$ et $s^3 = Id$. L'ensemble $\{Id, s, s^2\}$ est un sous-groupe cyclique d'ordre 3. Il est commutatif car tout groupe cyclique l'est.
• b) Conjugaison : Soit $t_a$ la transposition $(b \ c)$. Calculons $\sigma = s \circ t_a \circ s^{-1}$.
  $\sigma(b) = s(t_a(s^{-1}(b))) = s(t_a(a)) = s(a) = b$.
  L'élément $b$ est invariant par $\sigma$. Comme $\sigma$ est une transposition (conjuguée d'une transposition), c'est nécessairement la transposition qui laisse $b$ invariant : $t_b = (a \ c)$.
  On a bien $s \circ t_a \circ s^{-1} = t_b$.
• c) Commutativité de $S_3$ : Le groupe $S_3$ n'est pas commutatif. En effet, si $s$ et $t_a$ commutaient, on aurait $s \circ t_a \circ s^{-1} = t_a$. Or nous venons de montrer que ce produit vaut $t_b$, et $t_a \neq t_b$.
• d) Centre de $S_3$ : $S_3$ est composé de l'identité, de 3 transpositions et de 2 cycles de longueur 3.
  Comme un cycle ne commute pas avec une transposition (vu en c), aucun de ces éléments n'appartient au centre.
  Le seul élément commutant avec tout le groupe est l'identité : $Z(S_3) = \{Id\}$.