Fonctions logarithmes - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

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Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

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Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

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Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

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Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

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Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

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Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

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Exercice Ln8

Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$ Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs. En...

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Exercice Ln9

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align}...

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Exercice LN10

Tangentes et Convexité Démontrer, à l'aide du TAF, que si $f$ est convexe sur son domaine de définition, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. En déduire que pour tout réel, $~x$...

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Exercice Ln11

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align} \] Étudier les vari...

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Exercice Ln12

Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \] Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to ...

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Exercice Ln13

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 2}$ définie par : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \] Montrer que : \[ (\forall n \ge 2) \quad u_n = \ln\left( \f...

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Exercice Ln14

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align} \] Déterminer...

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Exercice Ln15

On se propose de démontrer que la fonction $~\log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle. Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: ...

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Exercice Ln16

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...

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Exercice Ln17

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\sqrt{\ln(x^2 + 1)}}{x} \end{align*} \] ...

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Exercice Ln18

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $~[0;1]~$ par : \[ \begin{cases} f(x) = \ln(x) \cdot \ln(1-x) & \text{si } x \in ]0;1[ \\ \\ f(0) = f(1) = 0 \end{cases} \] Montrer...

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Exercice Ln19

En utilisant la définition de la dérivée en un point (ou la règle de L'Hôpital), calculer la limite suivante : \[ \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} \] ...

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Exercie Ln20

On considère les fonctions $~f~$ et $~g~$ définies au voisinage de $~+\infty~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln x} \quad \text{et} \quad g(x) = x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right) \] En util...

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Exercice Ln21

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ \begin{cases} f(0) = 0 \\ f(x) = x\sqrt{|\ln x|} & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Étudier la dérivabilité à droi...

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Exercice Ln22

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$ par : \[ f(x) = \frac{7x - 5}{(x - 1)^2} \] Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel...

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Exercice Ln23

PROBLÈME Baccalauréat C - Amérique du Nord, juin 1994 Dans tout le problème, $ n $ désigne un entier naturel non nul. I. Étude d'une fonction auxiliaire $ g_n $ Soit $ g_n $ la fonction ...

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Exercice Ln24

EXERCICE 4 Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 Partie A Soit $ u $ la fonction définie sur $ ]0; +\infty[ $ par : \[ u(x) = x^2 - 2 + \ln x \] Étudier les variations de $ u $ ...

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Exercice Ln25

Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement supérieurs à 1. Montrer les égalités suivantes : $\log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \log_a(b)$ ; $\log_{\frac{1}{a}}(...

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Exercice Ln26

BAC Sciences Mathématiques A et B - Session rattrapage Maroc 2021. Partie I: On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = ]-\infty, 1[ $ par : \[ \begin{align*} f : &]-\infty,...

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Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

Exercice Ln8

Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$ Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs. En...

Exercice Ln9

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}...

Exercice LN10

Tangentes et Convexité Démontrer, à l'aide du TAF, que si $f$ est convexe sur son domaine de définition, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. En déduire que pour tout réel, $~x$...

Exercice Ln11

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \] Étudier les vari...

Exercice Ln12

Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \] Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to ...

Exercice Ln13

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 2}$ définie par : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \] Montrer que : \[ (\forall n \ge 2) \quad u_n = \ln\left( \f...

Exercice Ln14

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align*} \] Déterminer...

Exercice Ln15

On se propose de démontrer que la fonction $~\log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle. Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: ...

Exercice Ln16

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align*} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align*} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...

Exercice Ln17

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\sqrt{\ln(x^2 + 1)}}{x} \end{align*} \] ...

Exercice Ln18

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $~[0;1]~$ par : \[ \begin{cases} f(x) = \ln(x) \cdot \ln(1-x) & \text{si } x \in ]0;1[ \\ \\ f(0) = f(1) = 0 \end{cases} \] Montrer...

Exercice Ln19

En utilisant la définition de la dérivée en un point (ou la règle de L'Hôpital), calculer la limite suivante : \[ \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} \] ...

Exercie Ln20

On considère les fonctions $~f~$ et $~g~$ définies au voisinage de $~+\infty~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln x} \quad \text{et} \quad g(x) = x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right) \] En util...

Exercice Ln21

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ \begin{cases} f(0) = 0 \\ f(x) = x\sqrt{|\ln x|} & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Étudier la dérivabilité à droi...

Exercice Ln22

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$ par : \[ f(x) = \frac{7x - 5}{(x - 1)^2} \] Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel...

Exercice Ln23

PROBLÈME Baccalauréat C - Amérique du Nord, juin 1994 Dans tout le problème, \( n \) désigne un entier naturel non nul. I. Étude d'une fonction auxiliaire \( g_n \) Soit \( g_n \) la fonction ...

Exercice Ln24

EXERCICE 4 Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 Partie A Soit \( u \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par : \[ u(x) = x^2 - 2 + \ln x \] Étudier les variations de \( u \) ...

Exercice Ln25

Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement supérieurs à 1. Montrer les égalités suivantes : $\log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \log_a(b)$ ; $\log_{\frac{1}{a}}(...

Exercice Ln26

BAC Sciences Mathématiques A et B - Session rattrapage Maroc 2021. Partie I: On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = ]-\infty, 1[ $ par : \[ \begin{align*} f : &]-\infty,...

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align}...

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align} \] Étudier les vari...

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align} \] Déterminer...

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^$ par : \[ \begin{align} f : &\mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\sqrt{\ln(x^2 + 1)}}{x} \end{align*} \] ...