Fonctions exponentielles - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice EXP1

Soient (x,y,z) des nombres réels quelconques: Montrer que: $$x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=0$$ En déduire que pour tout $~(a,b,c)\in\Bbb R^{\ast}_+~$: $$a^{\log{\left(\frac{b}{c}\right)}}\cdot b^{\log{\l...

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Exercice EXP2

Résoudre dans $~\Bbb R~$ les équations suivantes: $\exp{(x^2)}=(\exp(x))^2$ $\exp{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}=\exp{\left(\frac{1}{x-1}\right)}$ $\exp(x^2+\frac{1}{x^2})=e^2$ $\exp(x^2+x-2) \lt...

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Exercice EXP3

Exercice : Étude de l'équation exponentielle $a^b = b^a$ On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longm...

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Exercice EXP4

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{lll} a_1 = e^{\ln 13} \qquad \qquad & a_2 = e^{4 \ln 5}\qquad\qquad & a_3 = e^{-\ln 7} \\ \\ b_1 = e^{\frac{1}{3} \ln 27} & b_2 = e^{-\fr...

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Exercice EXP5

EXERCICE 02 Simplifier les écritures des nombres suivantes : \[ \begin{array}{ll} A_1 = \ln(e^{-5}) \qquad \qquad & A_2 = \ln\left(\frac{1}{e^3}\right) \\ \\ A_3 = \ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^4)}}...

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Exercices EXP6

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction $ f $ sur un intervalle convenable : \[ \begin{array}{ll} 1) \ f(x) = e^{-2x+5} \qquad \qquad \qquad \qquad & 2) \ f(x) = \sq...

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Exercice EXP 7

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = e^{2x} \cos x \qquad \qquad g(x)=e^{2x}\sin x \] Calculer $f'$ et $g'$ en fonction de $f$ et $g$...

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Exercice EXP8

Partie A Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ 2^{\sin^2 x} = \cos(x) \] On considère le nombre réel : \[ a = \frac{\sqrt{5} +...

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Exercice EXP10

Calculer les limites suivantes : $ (m \in \mathbb{R}_+^*) $ \[ \begin{array}{lll} L_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x \qquad & L_2 = \lim\limits_{x \to 0^+} x^{\sqr...

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Exercice EXP11

Baccalauréat C Pondichéry avril 1994 Soit $ f $ la fonction numérique définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = (x - 2)e^x + x \] et $ (\mathcal{C}) $ sa représentation graphique dans un r...

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Exercice EXP12

EXERCICE Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx \] ...

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Exercice EXP13

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants : \[ \begin{array}{ll} (S_1) : \begin{cases} 3^x + 7^y = 16 \\ 3^x - 7^y = 2 \end{cases} & (S_2) : \begin{cases} 2^{x-2} \cdot 2^{y-1} = 1...

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Exercice EXP14

Bac S Liban 2004 Soit $ x $ un nombre réel positif ou nul et $ k $ un entier strictement supérieur à $ x $. Montrer par récurrence sur $ n $ que, pour tout entier $ n $ supérieur o...

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Exercice EXP15

Liban Bac S 2004 Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align} ...

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Exercice EXP 16

Pour tout entier $ n \ge 3 $, on considère la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{e^{x}-1} \text{ si } x \neq 0 \quad \text{ et } \quad f_{n}(0) = 0 \...

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Exercice EXP17

Exercice : Étude de l'équation $a^{a^x} = x$ Soit $ a $ un nombre réel tel que $ a > 1 $. On cherche le nombre de solutions de l'équation suivante : \[ (E) : a^{\left(a^{x}\right)} = x \] ...

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Exercice Exp18

Polynésie 1999 - Bac SSoit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = x - e^{2x-2} \] On note $ (C) $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormal $ (O, \vec{i}, ...

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Mathematiques- Bac Marocain

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Exercice EXP1

Soient (x,y,z) des nombres réels quelconques: Montrer que: $$x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=0$$ En déduire que pour tout $~(a,b,c)\in\Bbb R^{\ast}_+~$: $$a^{\log{\left(\frac{b}{c}\right)}}\cdot b^{\log{\l...

Exercice EXP2

Résoudre dans $~\Bbb R~$ les équations suivantes: $\exp{(x^2)}=(\exp(x))^2$ $\exp{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}=\exp{\left(\frac{1}{x-1}\right)}$ $\exp(x^2+\frac{1}{x^2})=e^2$ $\exp(x^2+x-2) \lt...

Exercice EXP3

Exercice : Étude de l'équation exponentielle $a^b = b^a$ On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longm...

Exercice EXP4

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{lll} a_1 = e^{\ln 13} \qquad \qquad & a_2 = e^{4 \ln 5}\qquad\qquad & a_3 = e^{-\ln 7} \\ \\ b_1 = e^{\frac{1}{3} \ln 27} & b_2 = e^{-\fr...

Exercice EXP5

EXERCICE 02 Simplifier les écritures des nombres suivantes : \[ \begin{array}{ll} A_1 = \ln(e^{-5}) \qquad \qquad & A_2 = \ln\left(\frac{1}{e^3}\right) \\ \\ A_3 = \ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^4)}}...

Exercices EXP6

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction $ f $ sur un intervalle convenable : \[ \begin{array}{ll} 1) \ f(x) = e^{-2x+5} \qquad \qquad \qquad \qquad & 2) \ f(x) = \sq...

Exercice EXP 7

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = e^{2x} \cos x \qquad \qquad g(x)=e^{2x}\sin x \] Calculer $f'$ et $g'$ en fonction de $f$ et $g$...

Exercice EXP8

Partie A Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante : \[ 2^{\sin^2 x} = \cos(x) \] On considère le nombre réel : \[ a = \frac{\sqrt{5} +...

Exercice EXP10

Calculer les limites suivantes : \( (m \in \mathbb{R}_+^*) \) \[ \begin{array}{lll} L_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x \qquad & L_2 = \lim\limits_{x \to 0^+} x^{\sqr...

Exercice EXP11

Baccalauréat C Pondichéry avril 1994 Soit \( f \) la fonction numérique définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = (x - 2)e^x + x \] et \( (\mathcal{C}) \) sa représentation graphique dans un r...

Exercice EXP12

EXERCICE Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[ u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx \] ...

Exercice EXP13

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants : \[ \begin{array}{ll} (S_1) : \begin{cases} 3^x + 7^y = 16 \\ 3^x - 7^y = 2 \end{cases} & (S_2) : \begin{cases} 2^{x-2} \cdot 2^{y-1} = 1...

Exercice EXP14

Bac S Liban 2004 Soit $ x $ un nombre réel positif ou nul et $ k $ un entier strictement supérieur à $ x $. Montrer par récurrence sur $ n $ que, pour tout entier $ n $ supérieur o...

Exercice EXP15

Liban Bac S 2004 Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align} ...

Exercice EXP 16

Pour tout entier $ n \ge 3 $, on considère la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{e^{x}-1} \text{ si } x \neq 0 \quad \text{ et } \quad f_{n}(0) = 0 \...

Exercice EXP17

Exercice : Étude de l'équation $a^{a^x} = x$ Soit $ a $ un nombre réel tel que $ a > 1 $. On cherche le nombre de solutions de l'équation suivante : \[ (E) : a^{\left(a^{x}\right)} = x \] ...

Exercice Exp18

Polynésie 1999 - Bac SSoit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = x - e^{2x-2} \] On note $ (C) $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormal $ (O, \vec{i}, ...

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Exercice EXP1

Soient (x,y,z) des nombres réels quelconques: Montrer que: $$x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=0$$ En déduire que pour tout $~(a,b,c)\in\Bbb R^{\ast}_+~$: $$a^{\log{\left(\frac{b}{c}\right)}}\cdot b^{\log{\l...

Exercice EXP2

Résoudre dans $~\Bbb R~$ les équations suivantes: $\exp{(x^2)}=(\exp(x))^2$ $\exp{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}=\exp{\left(\frac{1}{x-1}\right)}$ $\exp(x^2+\frac{1}{x^2})=e^2$ $\exp(x^2+x-2) \lt...

Exercice EXP3

Exercice : Étude de l'équation exponentielle $a^b = b^a$ On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longm...

Exercice EXP4

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{lll} a_1 = e^{\ln 13} \qquad \qquad & a_2 = e^{4 \ln 5}\qquad\qquad & a_3 = e^{-\ln 7} \\ \\ b_1 = e^{\frac{1}{3} \ln 27} & b_2 = e^{-\fr...

Exercice EXP5

EXERCICE 02 Simplifier les écritures des nombres suivantes : \[ \begin{array}{ll} A_1 = \ln(e^{-5}) \qquad \qquad & A_2 = \ln\left(\frac{1}{e^3}\right) \\ \\ A_3 = \ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^4)}}...

Exercices EXP6

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction $ f $ sur un intervalle convenable : \[ \begin{array}{ll} 1) \ f(x) = e^{-2x+5} \qquad \qquad \qquad \qquad & 2) \ f(x) = \sq...

Exercice EXP 7

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = e^{2x} \cos x \qquad \qquad g(x)=e^{2x}\sin x \] Calculer $f'$ et $g'$ en fonction de $f$ et $g$...

Exercice EXP8

Partie A Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante : \[ 2^{\sin^2 x} = \cos(x) \] On considère le nombre réel : \[ a = \frac{\sqrt{5} +...

Exercice EXP10

Calculer les limites suivantes : \( (m \in \mathbb{R}_+^*) \) \[ \begin{array}{lll} L_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x \qquad & L_2 = \lim\limits_{x \to 0^+} x^{\sqr...

Exercice EXP11

Baccalauréat C Pondichéry avril 1994 Soit \( f \) la fonction numérique définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = (x - 2)e^x + x \] et \( (\mathcal{C}) \) sa représentation graphique dans un r...

Exercice EXP12

EXERCICE Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[ u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx \] ...

Exercice EXP13

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants : \[ \begin{array}{ll} (S_1) : \begin{cases} 3^x + 7^y = 16 \\ 3^x - 7^y = 2 \end{cases} & (S_2) : \begin{cases} 2^{x-2} \cdot 2^{y-1} = 1...

Exercice EXP14

Bac S Liban 2004 Soit $ x $ un nombre réel positif ou nul et $ k $ un entier strictement supérieur à $ x $. Montrer par récurrence sur $ n $ que, pour tout entier $ n $ supérieur o...

Exercice EXP15

Liban Bac S 2004 Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align*} ...

Exercice EXP 16

Pour tout entier $ n \ge 3 $, on considère la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{e^{x}-1} \text{ si } x \neq 0 \quad \text{ et } \quad f_{n}(0) = 0 \...

Exercice EXP17

Exercice : Étude de l'équation $a^{a^x} = x$ Soit $ a $ un nombre réel tel que $ a > 1 $. On cherche le nombre de solutions de l'équation suivante : \[ (E) : a^{\left(a^{x}\right)} = x \] ...

Exercice Exp18

Polynésie 1999 - Bac SSoit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = x - e^{2x-2} \] On note $ (C) $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormal $ (O, \vec{i}, ...

Liban Bac S 2004 Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align} ...