Exercices Corrigés (Page 32) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 64

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^n}$ Calculer $I_1$. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer $I_{n+1} - I_n...

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Exercice INT 65

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt \quad \text{avec } \left(u=t+\frac{1}{t}...

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Exercice INT 66

Pour tout $(a;x) \in \mathbb{R}^2$ on pose : $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$ En utilisant l'intégration par changement de variable suivant : $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$, ca...

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Exercice INT 67

Soit $a \in [1; +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ on pose : $$I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$$ En utilisant l'intégration par changement de variable et en posant $u = \s...

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Exercice INT 68

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis défini...

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Exercice INT 69

On considère l'intégrale : $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{2x}} \,dx$ En utilisant le changement de variable $t = -x$, montrer que : $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^...

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Exercice INT 70

On considère les intégrales suivantes : $$I = \int_{-1}^1 t \cdot \text{Arctan}(t) \,dt \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^1 \frac{t \cdot \text{Arctan}(t)}{1+e^t} \,dt$$ En utilisant une intégr...

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Exercice INT 71

En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \frac{\pi}{4} - x$, calculer les intégrales : $$L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) \,dx$$ $$L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4...

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Exercice INT 72

Soit $n \in \mathbb{N}^$ et $\alpha \in \mathbb{R}^_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...

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Exercice INT 73

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$ En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\f...

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Exercice INT 74

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$...

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Exercice INT 75

Calculer : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx$$...

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Exercice INT 76

Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$...

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Exercice INT 77

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : $$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$ Montrer que la fonction $f$ est impaire...

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Exercice INT 78

Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$). Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$ En déduire les implications suivantes : ...

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MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice INT 64

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^n}$ Calculer $I_1$. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer $I_{n+1} - I_n...

Exercice INT 65

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt \quad \text{avec } \left(u=t+\frac{1}{t}...

Exercice INT 66

Pour tout $(a;x) \in \mathbb{R}^2$ on pose : $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$ En utilisant l'intégration par changement de variable suivant : $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$, ca...

Exercice INT 67

Soit $a \in [1; +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ on pose : $$I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$$ En utilisant l'intégration par changement de variable et en posant $u = \s...

Exercice INT 68

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis défini...

Exercice INT 69

On considère l'intégrale : $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{2x}} \,dx$ En utilisant le changement de variable $t = -x$, montrer que : $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^...

Exercice INT 70

On considère les intégrales suivantes : $$I = \int_{-1}^1 t \cdot \text{Arctan}(t) \,dt \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^1 \frac{t \cdot \text{Arctan}(t)}{1+e^t} \,dt$$ En utilisant une intégr...

Exercice INT 71

En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \frac{\pi}{4} - x$, calculer les intégrales : $$L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) \,dx$$ $$L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4...

Exercice INT 72

Soit $n \in \mathbb{N}^$ et $\alpha \in \mathbb{R}^_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...

Exercice INT 73

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$ En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\f...

Exercice INT 74

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$...

Exercice INT 75

Calculer : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx$$...

Exercice INT 76

Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$...

Exercice INT 77

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : $$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$ Montrer que la fonction $f$ est impaire...

Exercice INT 78

Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$). Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$ En déduire les implications suivantes : ...

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Exercice INT 64

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^n}$ Calculer $I_1$. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer $I_{n+1} - I_n...

Exercice INT 65

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt \quad \text{avec } \left(u=t+\frac{1}{t}...

Exercice INT 66

Pour tout $(a;x) \in \mathbb{R}^2$ on pose : $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$ En utilisant l'intégration par changement de variable suivant : $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$, ca...

Exercice INT 67

Soit $a \in [1; +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ on pose : $$I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$$ En utilisant l'intégration par changement de variable et en posant $u = \s...

Exercice INT 68

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis défini...

Exercice INT 69

On considère l'intégrale : $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{2x}} \,dx$ En utilisant le changement de variable $t = -x$, montrer que : $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^...

Exercice INT 70

On considère les intégrales suivantes : $$I = \int_{-1}^1 t \cdot \text{Arctan}(t) \,dt \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^1 \frac{t \cdot \text{Arctan}(t)}{1+e^t} \,dt$$ En utilisant une intégr...

Exercice INT 71

En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \frac{\pi}{4} - x$, calculer les intégrales : $$L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) \,dx$$ $$L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4...

Exercice INT 72

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...

Exercice INT 73

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$ En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\f...

Exercice INT 74

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$...

Exercice INT 75

Calculer : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx$$...

Exercice INT 76

Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$...

Exercice INT 77

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : $$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$ Montrer que la fonction $f$ est impaire...

Exercice INT 78

Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$). Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$ En déduire les implications suivantes : ...

Soit $n \in \mathbb{N}^$ et $\alpha \in \mathbb{R}^_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...