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• Pour $t \in \left[0, \frac{\pi}{2n}\right]$, on a $nt \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
  Sur cet intervalle, $\cos(nt) \geqslant 0$ et $\sin(nt) \geqslant 0$. La fonction est donc parfaitement définie sans utiliser de valeur absolue.
• On introduit l'intégrale complémentaire $J_n(\alpha)$ :

\[ J_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\sin^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt \]

• Par linéarité de l'intégrale, la somme donne :

\[ I_n(\alpha) + J_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} 1 \,dt = \frac{\pi}{2n} \]

Changement de variable

Montrons que $I_n(\alpha) = J_n(\alpha)$ en effectuant le changement de variable $u = \frac{\pi}{2n} - t$ :

• L'élément différentiel est $dt = -du$.
• Pour $t = 0$, $u = \frac{\pi}{2n}$ et pour $t = \frac{\pi}{2n}$, $u = 0$.
• Par les formules d'addition : $\cos(nt) = \cos\left(n\left(\frac{\pi}{2n} - u\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - nu\right) = \sin(nu)$.
• De même : $\sin(nt) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - nu\right) = \cos(nu)$.

• En substituant dans l'expression de $I_n(\alpha)$, on obtient :

\[ I_n(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{2n}}^0 \frac{\sin^\alpha(nu)}{\sin^\alpha(nu) + \cos^\alpha(nu)} (-du) \]

• En inversant les bornes pour absorber le signe négatif, on retrouve exactement $J_n(\alpha)$ :

\[ I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\sin^\alpha(nu)}{\cos^\alpha(nu) + \sin^\alpha(nu)} \,du = J_n(\alpha) \]

Conclusion

• On obtient le système suivant :

\[ \begin{aligned} I_n(\alpha) + J_n(\alpha) &= \frac{\pi}{2n} \\ I_n(\alpha) &= J_n(\alpha) \end{aligned} \]

• On en déduit immédiatement $2I_n(\alpha) = \frac{\pi}{2n}$, soit :

\[ I_n(\alpha) = \frac{\pi}{4n} \]

• La valeur de l'intégrale est $\frac{\pi}{4n}$, elle est bien indépendante de $\alpha$.