- Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$
- En déduire les implications suivantes :
- Si $f$ est impaire alors : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = 0$
- Si $f$ est paire alors : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = 2\int_0^a f(t) \,dt$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$).
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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1. Démonstration de la formule de symétrie
- Utilisation de la relation de Chasles : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_{-a}^0 f(t) \,dt + \int_0^a f(t) \,dt \]
- Changement de variable sur le premier terme :
Dans l'intégrale $\int_{-a}^0 f(t) \,dt$, posons le changement de variable $u = -t$. \[ \int_{-a}^0 f(t) \,dt = \int_a^0 f(-u) (-du) = -\int_a^0 f(-u) \,du \]
Soit: \[\int_{-a}^0 f(t) \,dt = \int_0^a f(-u) \,du \]
La variable d'intégration étant muette, on peut la renommer en $t$ : $\int_0^a f(-t) \,dt$. - Conclusion par linéarité :
En remplaçant ce résultat dans la relation de Chasles initiale, on obtient bien : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a f(-t) \,dt + \int_0^a f(t) \,dt \] \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt \]
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2. Déduction pour les fonctions paires et impaires
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- Cas où $f$ est une fonction impaire :
Si $f$ est impaire, alors: \[ f(t) + f(-t) = f(t) - f(t) = 0 \]
Par conséquent : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = 0 \]
- Cas où $f$ est une fonction impaire :
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- Cas où $f$ est une fonction paire :
Si $f$ est paire, alors: \[ f(t) + f(-t) = f(t) + f(t) = 2f(t) \]
Par conséquent : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = 2\int_0^a f(t) \,dt \]
- Cas où $f$ est une fonction paire :
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