Exercices Corrigés (Page 34) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 94

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_1^e x(\ln x)^n \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est positive et décroissante. Montrer que : $(\forall n \in \m...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 95

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$ Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 96

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt$ Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)$ puis montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n \ge 0$ ...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 97

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_0^1 \sqrt[n]{1-x^n} \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante. Vérifier que pour t...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 98

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt$ Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie par : $$u(t) = \ln(t+\sqrt{1...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 99

On considère la suite numérique $(I_n)$ définie par : $$I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$$ Calculer $I_0$ et $I_1$. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, montrer que : $$(\forall...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 100

On pose : $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt$ On considère la fonction $F$ définie sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ par : $$F(x) = \int_{\f...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 101

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $$F(x) = \int_x^{x+\sqrt{x}} \frac{dt}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$$ En utilisant le théorème de la moyenne, calculer les limites suivante...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 102

En utilisant une intégration par changement de variable, calculer l'intégrale : (poser $t = \arctan u$) \[ I = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{2dt}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \quad \text{où } x ...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 103

Le but de cet exercice est de montrer l'irrationalité du nombre $\pi$ (c'est-à-dire : $\pi \notin \mathbb{Q}$) Soit $(u_n)$ une suite numérique à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la sui...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 104

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ telles que : i. $(\forall t \in [a;b]) \quad g(t) \ge 0$. ii. $(\exists M \in \mathbb{R}^+) (\forall t \in [a;b]) \quad |f(t)| \le M$....

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT105

Partie A : Par les produits de sinus et sommes de Riemann Pour tout entier $ n \ge 2 $, on note $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ les racines $ n $-ièmes de l'unité. Démontrer que $ \prod_{k=1}^{n-...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 25 février 2026

Exercice P63

Soit $E$ un ensemble constitué de $12$ personnes. On cherche à déterminer le nombre de répartitions possibles de ces personnes en $6$ groupes non orientés de $2$ personnes (c'est-à-dire $6$ paires dis...

Probabilités Solution Posted by admin on 12 mars 2026

Exercice N61

Examen National Session Normale 2021 (Maroc): Soient $a, b$ et $c$ trois nombres complexes non nuls tels que : $a+b\neq c$ Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d'inconnue ...

Nombres complexes Solution Posted by admin on 26 mars 2026

Exercice N62

Examen National Session de rattrapage 2021 $m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ On considère da...

Nombres complexes Solution Posted by admin on 26 mars 2026

MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice INT 94

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_1^e x(\ln x)^n \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est positive et décroissante. Montrer que : $(\forall n \in \m...

Exercice INT 95

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$ Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3...

Exercice INT 96

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt$ Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)$ puis montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n \ge 0$ ...

Exercice INT 97

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_0^1 \sqrt[n]{1-x^n} \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante. Vérifier que pour t...

Exercice INT 98

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt$ Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie par : $$u(t) = \ln(t+\sqrt{1...

Exercice INT 99

On considère la suite numérique $(I_n)$ définie par : $$I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$$ Calculer $I_0$ et $I_1$. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, montrer que : $$(\forall...

Exercice INT 100

On pose : $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt$ On considère la fonction $F$ définie sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ par : $$F(x) = \int_{\f...

Exercice INT 101

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $$F(x) = \int_x^{x+\sqrt{x}} \frac{dt}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$$ En utilisant le théorème de la moyenne, calculer les limites suivante...

Exercice INT 102

En utilisant une intégration par changement de variable, calculer l'intégrale : (poser $t = \arctan u$) \[ I = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{2dt}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \quad \text{où } x ...

Exercice INT 103

Le but de cet exercice est de montrer l'irrationalité du nombre $\pi$ (c'est-à-dire : $\pi \notin \mathbb{Q}$) Soit $(u_n)$ une suite numérique à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la sui...

Exercice INT 104

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ telles que : i. $(\forall t \in [a;b]) \quad g(t) \ge 0$. ii. $(\exists M \in \mathbb{R}^+) (\forall t \in [a;b]) \quad |f(t)| \le M$....

Exercice INT105

Partie A : Par les produits de sinus et sommes de Riemann Pour tout entier $ n \ge 2 $, on note $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ les racines $ n $-ièmes de l'unité. Démontrer que $ \prod_{k=1}^{n-...

Exercice P63

Soit $E$ un ensemble constitué de $12$ personnes. On cherche à déterminer le nombre de répartitions possibles de ces personnes en $6$ groupes non orientés de $2$ personnes (c'est-à-dire $6$ paires dis...

Exercice N61

Examen National Session Normale 2021 (Maroc): Soient $a, b$ et $c$ trois nombres complexes non nuls tels que : $a+b\neq c$ Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d'inconnue ...

Exercice N62

Examen National Session de rattrapage 2021 $m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ On considère da...