Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$
Montrer que la fonction $f$ est impaire.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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- Introduction de la fonction intégrale :
Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: \[F(x) = \int_{-x}^x f(t) \,dt\]
Par hypothĂšse, $F$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \lambda$. - Lien avec la primitive :
La fonction $f$ Ă©tant continue sur $\mathbb{R}$, elle admet des primitives sur $\mathbb{R}$. Soit $G$ une primitive de $f$.
On peut ainsi exprimer $F(x)$ Ă l'aide de cette primitive : \[ F(x) = G(x) - G(-x) \] - DĂ©rivation de la fonction $F$ :
Puisque $F$ est une fonction constante ($F(x) = \lambda$), sa dérivée est identiquement nulle pour tout $~x~$ dans $~\mathbb{R}$ : \[ F'(x) = 0 \] Ce qui équivaut à : \[ F'(x) = G'(x) + G'(-x) = f(x) + f(-x) = 0\] Ce qui implique: \[f(-x) = -f(x) \]
Cette relation Ă©tant vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$, on conclut que la fonction $f$ est impaire.
- Introduction de la fonction intégrale :