- Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$
- En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) \,dt$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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1. Démonstration de la propriété de symétrie
- Considérons l'intégrale $J = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$.
- Effectuons le changement de variable affine $u = a+b-x$.
On en déduit la différentielle : $du = -dx \implies dx = -du$. - Déterminons les nouvelles bornes :
Pour $x = a$, on a $u = a+b-a = b$.
Pour $x = b$, on a $u = a+b-b = a$. - En substituant dans l'intégrale, on obtient : \[ J = \int_b^a f(u) (-du) = -\int_b^a f(u) \,du \]
- En utilisant la propriété d'inversion des bornes, le signe moins disparaßt : \[ J = \int_a^b f(u) \,du \]
- La variable d'intégration étant muette, on peut remplacer $u$ par $x$, ce qui achÚve la démonstration : \[ \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx \]
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2. Application au calcul de l'intégrale $I$
- On cherche Ă calculer $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) \,dt$.
Posons la fonction intégrande $f(t) = \sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}$. - Appliquons la propriété démontrée à la question précédente avec $a = \frac{\pi}{6}$ et $b = \frac{\pi}{3}$.
Calculons la somme des bornes : \[ a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \] - D'aprÚs la propriété de symétrie, on a $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \,dt$.
Ăvaluons l'intĂ©grande avec ce changement d'argument, en utilisant les formules fondamentales des angles complĂ©mentaires : \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \sin t \quad \text{et} \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \cos t \] - L'expression devient alors : \[ f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} - \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} = \sqrt{\sin t} - \sqrt{\cos t} \]
- On remarque immédiatement que cette nouvelle expression est exactement l'opposé de la fonction initiale $f(t)$ : \[ f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = - (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) = -f(t) \]
- En remplaçant ce résultat dans notre intégrale, on obtient l'équation : \[ I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} -f(t) \,dt = -\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(t) \,dt = -I \]
- Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation trÚs simple $I = -I$, ce qui donne $2I = 0$.
La valeur exacte de l'intégrale est donc nulle : \[ I = 0 \]
- On cherche Ă calculer $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) \,dt$.