Exercices Corrigés (Page 31) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 49

On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ par : $$f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$$ On considère l'intégrale : $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^4 x} \,dx$ ...

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Exercice INT 50

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} \sin x$ Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0$ Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer : $a...

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Exercice INT 51

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} \,dx\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int\limits_0^{\frac{\...

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Exercice INT 52

En utilisant la formule de l'intégration par parties, une ou plusieurs fois, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^e x^2 e^x \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,d...

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Exercice INT 53

On considère les intégrales suivantes : $I = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx \quad ; \quad J = \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx$ $K = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx$ En utilisant deux fois la formule d'...

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Exercice INT 54

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{dx}{1+2e^x}\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int_{-\ln 2}^0 e^{-x} \ln(1+2e^x) \,dx\...

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Exercice INT 55

Soit $m \in \mathbb{R}^*_+$. On considère : \[I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx\] Calculer $~I(m)$ en fonction de $m$ Calculer $~\lim\limits_{m\to +\infty}{I(m)}$ ...

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Exercice INT 56

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ on pose : \[f(x) = \int_x^{2x} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt\] Calculer $f(x)$ en fonction de $~x$. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. ...

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Exercice INT 57

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ...

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Exercice INT 58

On considère les intégrales : $$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$ Montrer que : $J+2I = ...

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Exercice INT 59

Soit $\lambda \in ]0;1[$. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} \ln(1-t^2) \,dt$ Déterminer la limite : $\lim_{\lambda \to 0^+} I(\...

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Exercice INT 60

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$. On considère les intégrales : $$F_a(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}} \quad \text{et} \quad G_a(x) = \int_0^x \sqrt{t^2+a^2} \,dt$$ Montrer que : $F_a(x) = \ln(...

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Exercice INT 61

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+\cos x} \,dx\qquad $ ; $\qquad I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(2x)\cos(5x) \,dx$ $I_3 = \int_0^{\ln(\sqr...

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Exercice INT 62

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x) \,dx \quad \text{et} \quad B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x) \,dx$$ Calculer $A_0$ et $B_0$. ...

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Exercice INT 63

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x \,dx$ Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n - \frac{1}{(n+1)!}$ En déduire que : $\foral...

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Exercice INT 49

On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ par : $$f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$$ On considère l'intégrale : $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^4 x} \,dx$ ...

Exercice INT 50

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} \sin x$ Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0$ Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer : $a...

Exercice INT 51

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} \,dx\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int\limits_0^{\frac{\...

Exercice INT 52

En utilisant la formule de l'intégration par parties, une ou plusieurs fois, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^e x^2 e^x \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,d...

Exercice INT 53

On considère les intégrales suivantes : $I = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx \quad ; \quad J = \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx$ $K = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx$ En utilisant deux fois la formule d'...

Exercice INT 54

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{dx}{1+2e^x}\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int_{-\ln 2}^0 e^{-x} \ln(1+2e^x) \,dx\...

Exercice INT 55

Soit $m \in \mathbb{R}^*_+$. On considère : \[I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx\] Calculer $~I(m)$ en fonction de $m$ Calculer $~\lim\limits_{m\to +\infty}{I(m)}$ ...

Exercice INT 56

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ on pose : \[f(x) = \int_x^{2x} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt\] Calculer $f(x)$ en fonction de $~x$. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. ...

Exercice INT 57

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ...

Exercice INT 58

On considère les intégrales : $$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$ Montrer que : $J+2I = ...

Exercice INT 59

Soit $\lambda \in ]0;1[$. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} \ln(1-t^2) \,dt$ Déterminer la limite : $\lim_{\lambda \to 0^+} I(\...

Exercice INT 60

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$. On considère les intégrales : $$F_a(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}} \quad \text{et} \quad G_a(x) = \int_0^x \sqrt{t^2+a^2} \,dt$$ Montrer que : $F_a(x) = \ln(...

Exercice INT 61

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+\cos x} \,dx\qquad $ ; $\qquad I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(2x)\cos(5x) \,dx$ $I_3 = \int_0^{\ln(\sqr...

Exercice INT 62

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x) \,dx \quad \text{et} \quad B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x) \,dx$$ Calculer $A_0$ et $B_0$. ...

Exercice INT 63

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x \,dx$ Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n - \frac{1}{(n+1)!}$ En déduire que : $\foral...