Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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- Remarque fondamentale :
Considérons la fonction intégrande $f(x) = \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
Elle est dĂ©finie et continue sur le segment symĂ©trique $\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$. - Ătude de la paritĂ© :
Pour tout $x \in \left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$, évaluons $f(-x)$ en utilisant la parité de la fonction cosinus ($\cos(-x) = \cos(x)$) : \[ f(-x) = \cos(-x) \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \cos(x) \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) =\] - Utilisation des propriétés du logarithme :
En remarquant que $\frac{1+x}{1-x} = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1}$, on obtient : \[ f(-x) = \cos(x) \left(-\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right) = -f(x) \] - Conclusion directe :
L'intégrande $f$ est une fonction impaire. L'intervalle d'intégration $\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$ étant centré en zéro, on en déduit immédiatement que son intégrale est nulle : \[ \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0 \]
- Remarque fondamentale :