Exercices Corrigés (Page 33) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 79

Soit $f$ une fonction impaire et continue sur $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel. Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0$ Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx...

Calcul intégral Solution Posted by admin on 18 février 2026

Exercice INT 80

Soit $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$. Montrer que si $f$ est continue sur $[-a; a]$ et paire, alors : $$\int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_0^a f(x) \,dx$$ En déduire la valeur de...

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Exercice INT 81

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a; b]$ telle que pour tout $x \in [a; b]$ : $f(a+b-x) = f(x)$ Montrer alors que : \[\int_a^b x f(x) \,dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \,dx\] Appli...

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Exercice INT 82

On considère l'intégrale $I$ définie par : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 + e^x}{e^x+1} \,dx$$ En utilisant le changement $x=-t$, montrer que : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 e^x + 1}{e^...

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Exercice INT 83

Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) \quad 1-t \le \frac{1}{1+t} \le 1$ En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{...

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Exercice INT 84

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ une bijection et $g$ sa bijection réciproque. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : ...

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Exercice INT 85

(Les questions suivantes sont indépendantes) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \,dx$ Calculer l'intégrale suivante ...

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Exercice INT 86

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$ Mont...

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Exercice INT 87

Pour tout $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$ Calculer $I_0$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad I_{n} = I_{n-1...

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Exercice INT 88

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

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Exercice INT 89

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$ En déduire que : $\left| \...

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Exercice INT 90

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et vérifiant : $\int_0^1 f(t) \,dt = 0$. En utilisant la fonction $\varphi$ définie par : $$\varphi(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer que : $(\exists...

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Exercice INT 93

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$ Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $...

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Exercice INT 91

Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer qu'il exist...

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Exercice INT 92

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...

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MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice INT 79

Soit $f$ une fonction impaire et continue sur $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel. Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0$ Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx...

Exercice INT 80

Soit $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$. Montrer que si $f$ est continue sur $[-a; a]$ et paire, alors : $$\int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_0^a f(x) \,dx$$ En déduire la valeur de...

Exercice INT 81

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a; b]$ telle que pour tout $x \in [a; b]$ : $f(a+b-x) = f(x)$ Montrer alors que : \[\int_a^b x f(x) \,dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \,dx\] Appli...

Exercice INT 82

On considère l'intégrale $I$ définie par : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 + e^x}{e^x+1} \,dx$$ En utilisant le changement $x=-t$, montrer que : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 e^x + 1}{e^...

Exercice INT 83

Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) \quad 1-t \le \frac{1}{1+t} \le 1$ En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{...

Exercice INT 84

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ une bijection et $g$ sa bijection réciproque. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : ...

Exercice INT 85

(Les questions suivantes sont indépendantes) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \,dx$ Calculer l'intégrale suivante ...

Exercice INT 86

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$ Mont...

Exercice INT 87

Pour tout $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$ Calculer $I_0$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad I_{n} = I_{n-1...

Exercice INT 88

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

Exercice INT 89

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$ En déduire que : $\left| \...

Exercice INT 90

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et vérifiant : $\int_0^1 f(t) \,dt = 0$. En utilisant la fonction $\varphi$ définie par : $$\varphi(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer que : $(\exists...

Exercice INT 93

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$ Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $...

Exercice INT 91

Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer qu'il exist...

Exercice INT 92

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...

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Exercice INT 79

Soit $f$ une fonction impaire et continue sur $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel. Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0$ Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx...

Exercice INT 80

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Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a; b]$ telle que pour tout $x \in [a; b]$ : $f(a+b-x) = f(x)$ Montrer alors que : \[\int_a^b x f(x) \,dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \,dx\] Appli...

Exercice INT 82

On considère l'intégrale $I$ définie par : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 + e^x}{e^x+1} \,dx$$ En utilisant le changement $x=-t$, montrer que : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 e^x + 1}{e^...

Exercice INT 83

Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) \quad 1-t \le \frac{1}{1+t} \le 1$ En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{...

Exercice INT 84

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ une bijection et $g$ sa bijection réciproque. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : ...

Exercice INT 85

(Les questions suivantes sont indépendantes) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \,dx$ Calculer l'intégrale suivante ...

Exercice INT 86

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$ Mont...

Exercice INT 87

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$ Calculer $I_0$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad I_{n} = I_{n-1...

Exercice INT 88

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

Exercice INT 89

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$ En déduire que : $\left| \...

Exercice INT 90

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et vérifiant : $\int_0^1 f(t) \,dt = 0$. En utilisant la fonction $\varphi$ définie par : $$\varphi(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer que : $(\exists...

Exercice INT 93

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$ Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $...

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Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer qu'il exist...

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On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...

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On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...