Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.
Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ :
$$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
-
- Changement de variable :
On considÚre l'intégrale $\int_a^b f(x) \,dx$.
Effectuons le changement de variable affine en posant $x = a + (b-a)t$. - Différentielle :
En dérivant $x$ par rapport à la nouvelle variable $t$, on obtient : \[ dx = (b-a) \,dt \] - Nouvelles bornes d'intégration :
La relation entre les bornes se déduit par équivalence directe : \[ t = 0 \iff x = a \] \[ t = 1 \iff x = b \] - Substitution :
En remplaçant tous ces éléments dans l'intégrale initiale, l'expression devient : \[ \int_a^b f(x) \,dx = \int_0^1 f(a+(b-a)t) (b-a) \,dt \] - Conclusion :
Par linéarité de l'intégrale, la quantité $(b-a)$ étant une constante réelle indépendante de la variable $t$, on peut la sortir de l'intégrale : \[ \int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt \]
- Changement de variable :