Exercices Corrigés (Page 13) - Mathématiques Bac & High School

Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...

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Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...

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Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

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exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

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Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)/AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

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Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C/\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

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Exercice E40

On définit sur $\mathbb R$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

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Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...

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Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...

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Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...

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Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...

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Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...

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Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...

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Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...

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Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...

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MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...

Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...

Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)/AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C/\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

Exercice E40

On définit sur $\mathbb R$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...

Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...

Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...

Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...

Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...

Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...

Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...

Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...

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Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...

Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...

Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)~~/~~AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C~~/~~\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

Exercice E40

On définit sur $~~\mathbb R~~$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...

Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...

Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...

Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...

Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...

Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...

Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...

Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...

Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)/(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)/AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C/\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...

On définit sur $\mathbb R$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...