1. Structure d'espace vectoriel de $F$:

• $F$ est un sous-ensemble de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
• $F$ est non vide car $0_2\in F$
• Soient $A, A' \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.
  \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, \quad A' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} \] Alors : \[ A + \lambda A' = \begin{pmatrix} a + \lambda a' & b + \lambda b' \\ -(b + \lambda b') & a + \lambda a' \end{pmatrix} \] En posant $a'' = a + \lambda a'$ et $b'' = b + \lambda b'$, on a $a'', b'' \in \mathbb{R}$.
  Ainsi, $A + \lambda A'=\begin{pmatrix} a" & b" \\ -b" & a" \end{pmatrix} \in F$.
• Par conséquent: $~~F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

2. Base et dimension de $F$

• Toute matrice $A \in F$ s'écrit : \[ A = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] Posons: $~~I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $~~J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.
• On en déduit que ce ce qui précède que: $~~F = \text{Vect}(I, J).~~$ et donc $~(I,J)~$ est une famille génératrice de $~F~$
• On a: $$aI+bJ=0\iff \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}=0\iff a=b=0$$ La famille $(I, J)$ est donc libre.
• Par conséquent : $~(I,J)~$ constitue une une base de $~F~$ et $~\dim(F) = 2~$.

3. Eléments inversibles de F

• Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in F$. \[ \det(A) = a^2 + b^2 \] $A$ est inversible si et seulement si: $$\det A\neq 0\iff (a\neq 0 \quad\text{ et }\quad b\neq 0)$$ L'ensemble des éléments inversible est donc: $~F^{*}~$ ( ensemble des matrices non nulles)

• Calcul de l'inverse : Soit $A \in F^*~$ , l'inverse de A est donné par : \[ A^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \]
Autrement: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2 + b^2} & \frac{-b}{a^2 + b^2} \\ -\left(\frac{-b}{a^2 + b^2}\right) & \frac{a}{a^2 + b^2} \end{pmatrix} \] En posant: $~~a' = \frac{a}{a^2 + b^2}$ et $~~b' = \frac{-b}{a^2 + b^2},~~$ on obtient: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix}$$

• Loi de composition interne : Le produit de deux matrices de $F$ appartient à $F$ (stabilité par multiplication).
• Associativité : La multiplication des matrices est associative dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, donc dans $F$.
• Élément neutre : $I \in F$ et $I \neq 0$, donc $I \in F^*$.
• Élément inverse : On a montré que pour tout $A \in F^*$, $A^{-1} \in F^*$.
• Conclusion : $(F^*, \cdot)$ est un groupe (c'est même un groupe commutatif, car $F$ est isomorphe au corps des nombres complexes $\mathbb{C}$).