- Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynÎmes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynÎmes à coefficients complexes de degré 1 est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Si $E$ est l'espace vectoriel des suites à valeurs réelles alors l'ensemble des suites à valeurs réelles croissantes est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Si $E$ est l'espace vectoriel $M_2(\mathbb C)$ alors l'ensemble des matrices $M$ de la forme $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$ telles que $ad-bc=0$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Si $E$ est l'espace vectoriel $M_2(\mathbb C)$ alors l'ensemble des matrices $M$ telles que $a+d=0$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Non.
Pour qu'un sous-ensemble soit un sous-espace vectoriel, il doit impérativement contenir le vecteur nul de $ E $, qui est le polynÎme nul. Or, le degré du polynÎme nul est $-\infty \neq 1$.
De plus, cet ensemble n'est pas stable par addition : la somme des polynÎmes $P = X$ et $Q = -X+1$ donne $ P+Q = 1 $, qui est un polynÎme de degré 0. - Non.
L'ensemble n'est pas stable par produit externe (multiplication par un scalaire). Si on considÚre une suite strictement croissante, par exemple la suite définie par $ u_n = n $, et qu'on la multiplie par le scalaire $ \lambda = -1 $, on obtient la suite de terme général $ -n $, qui est strictement décroissante. Elle n'appartient donc plus à l'ensemble. - Non.
L'ensemble des matrices telles que $ad-bc=0$ (matrices de déterminant nul) n'est pas stable par addition. Considérons les deux matrices suivantes de l'ensemble : \[ A = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right) \quad \text{et} \quad B = \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\0 & 1\end{array}\right) \] Leur somme est la matrice identité : \[ A + B = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right) \] Pour cette matrice, $ad-bc = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1 \neq 0$. Elle n'appartient donc pas à l'ensemble. - Oui.
Soit $F$ l'ensemble des matrices vérifiant $a+d=0$.- La matrice nulle $O_2$ appartient à $F$ car $0+0=0$.
- Soient $M = \left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$ et $M' = \left(\begin{array}{cc}a' & b' \\c' & d'\end{array}\right)$ deux éléments de $ F $, et $\lambda$ un scalaire. La combinaison linéaire $\lambda M + M'$ s'écrit : \[ \lambda M + M' = \left(\begin{array}{cc}\lambda a + a' & \lambda b + b' \\\lambda c + c' & \lambda d + d'\end{array}\right) \] Vérifions la condition pour cette nouvelle matrice : \[ (\lambda a + a') + (\lambda d + d') = \lambda(a+d) + (a'+d') \] Comme $M$ et $ M' $ appartiennent à $ F $, on a $a+d=0$ et $a'+d'=0$. Ainsi : \[ \lambda(0) + 0 = 0 \] La condition est vérifiée. $ F $est stable par combinaison linéaire, c'est donc un sous-espace vectoriel de$ E $.