Exercices Corrigés (Page 12) - Mathématiques Bac & High School

Exercice S31

Sur $ I=]1, + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$ Démontrer que $a^2b^2-a^2-b^2+2=(a^2-1)(b^2-1)+1$ Montrer que $\ast$ est une loi de c...

Structures algébriques Solution Posted by admin on 11 novembre 2025

Exercice S32

On définit sur $J = [1,+\infty[$ la loi $~\bot~$ définie par : $$a\bot b = (\sqrt a +\sqrt b -1)^2$$ Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $~J~$. Montrer que $~\bot~$...

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Exercice S33

On note: $$\mathbb Z_i =\left\lbrace~\frac{a}{b}\qquad \text{avec:}(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* \text{et $b$ un entier impair} ~ \right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Z_i ,+,\t...

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Exercice S34

Soit $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$; on rappelle que: $$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$ Montrer que...

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Exercice S35

On note: $$\mathbb Q[\sqrt 2]=\left\lbrace a+b\sqrt 2:\quad (a,b)\in \mathbb Q^2\right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Q[\sqrt 2],+,\times)$ est un corps. Soit $~K~$ un corps tel que: $~~K\s...

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Exercice E23

Soient: $F = \{(2a, a+b, 2b) ~|~ a,b\in\mathbb R \}$ $u(1,1,1)~,~v(1,0,-1)~:~$ deux vecteurs de $~~\mathbb R^3.$ Montrer que $~F~$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $~u~$ et...

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Exercice E24

Dans $\mathbb R^4$ on considère les vecteurs \[u~=~(1,0,1,0),~v~=~(0,1,-1,0),~w~=~(1,1,1,1),~x~=~(0,0,1,0), ~y~=~(1,1,0,-1).~\] Soient: $F:$ l'espace vectoriel engendré par $(u;v;w)$ $G:~$ cel...

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Exercice E25

Dans $E = \mathbb R^3,$ on considère les ensembles: $$F = \{~(x, y, z) ~:~ x + y - z = 0~\} \qquad \text{et}\qquad G = \{~(x, y, z) ~|~ x + y - 2z = 2x - y - z = 0~\}$$ Montrer que $~F~$ et...

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Exercice E26

Soit $$A=\left(\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\end{array}\right)$$ On pose: $$K=\left\{ V\in\mathbb R^3 / AV=0\right\}$$ Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb ...

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Exercice E27

Soit $\qquad(n\in\mathbb N^\ast~)\qquad\mbox{et} \qquad (~A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)~)$ On pose: \[F=\left\{ M\in\mathcal{M}_n(\mathbb R) / AM=0\right\}\qquad \text{et}\qquad G=\left\{ M\in\...

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Exercice E28

Soient: \[E=\left\{P\in\mathbb R_3[X]/ P(-1)=0\right\}\qquad\text{et}\qquad F = \left\{P\in\mathbb R_2[X]/ P(1-X)=P(X)\right\}\] Montrer que $E$ et $F$ sont des $~~\mathbb R~$- esp...

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Exercice E30

Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)$. On considère les fonctions : \[f(x)=\cos(x) \quad ;\quad g(x)=\cos(x)\cos(2x) \quad ;\quad h(x)=\sin(x)\sin(2x).\] Donner la dimension ...

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Exercice E31

Dans l'espace vectoriel $~~\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)~~$, les fonctions suivantes sont-elles linéairement indépendantes ? \[f(x)=\sin(x) \qquad ;\qquad g(x)=\sin(2x) \qquad ;\qquad h(x)=\sin(...

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Exercice E32

Soit $(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align} ...

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Exercice E33

On désigne par $E$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $~2~$ de la forme: $$~\left(\begin{array}{cc} a&c \\ 0& b \end{array}\right),~$$ où $~a, b~$ et $~c~$ sont des nombres réels. ...

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