Exercices E44 : Énoncé & Corrigé Détaillé

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$:

\[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right)~~\text{et}~~L= \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) \].
On désigne par $~E~$ l'ensemble des matrices $M$ s'écrivant sous la forme $~M=aI+bJ+cK+dL,~$ où $~a, b, c~~$ et $~d~$ sont des nombres réels.

Montrer que $E$ est un espace vectoriel, et que $~~(I, J, K, L)~~$ en forme une base.
Montrer, en les calculant explicitement, que $~~J^2,~K^2,~L^2,~J^3~$ et $~L^3~~$ appartiennent à $E$.
En déduire, sans aucun calcul matriciel, que $~~JK,~ KJ,~ KL,~ LK, ~JL~~$ et $~~LJ$ appartiennent aussi à $~E$.
Montrer enfin que $~E~$ est stable par multiplication matricielle.

Structure d'espace vectoriel et base
Par définition, $E = \text{Vect}(I, J, K, L)$. C'est donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$.
Pour montrer que la famille $(I, J, K, L)$ est une base, vérifions qu'elle est libre. Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ tels que $aI + bJ + cK + dL = 0$.
En examinant la première colonne de cette équation matricielle, on obtient : \[ \begin{pmatrix} a \\ b \\ d \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Ainsi, $a = b = c = d = 0$. La famille est libre et génératrice de $ E $, c'est donc une base de $E$.

Calcul des puissances
Par calcul matriciel direct :
- $ J^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = L \in E $
- $ K^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = L \in E $
- $ L^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right) = I \in E $
- $ J^3 = J^2 \times J = L \times J = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) = K \in E $
- $ L^3 = L^2 \times L = I \times L = L \in E $

Produits croisés
En utilisant les relations établies à la question précédente ($J^2=L, J^3=K, L^2=I$) et l'associativité du produit matriciel :
- $ JK = J(J^3) = J^4 = J^2 J^2 = L^2 = I \in E $
- $ KJ = (J^3)J = J^4 = I \in E $
- $ JL = J(J^2) = J^3 = K \in E $
- $ LJ = (J^2)J = J^3 = K \in E $
- $ KL = (J^3)(J^2) = J^5 = J^4 J = IJ = J \in E $
- $ LK = (J^2)(J^3) = J^5 = J \in E $

Stabilité de $E$ par multiplication
Soient $M, M' \in E$. On peut les écrire $M = aI + bJ + cK + dL$ et $M' = a'I + b'J + c'K + d'L$.
Par bilinéarité du produit matriciel, le développement de $ MM' $ est une somme de termes qui sont des multiples scalaires de produits formés de deux éléments de la base $(I, J, K, L)$.
D'après les calculs des questions 2 et 3, le produit de n'importe quelle paire de matrices de la base donne une matrice qui appartient elle-même à la base ($I, J, K$ ou $L$). La combinaison linéaire de ces produits appartient donc à $\text{Vect}(I, J, K, L) = E$.
Conclusion :
$E$ est stable par la multiplication matricielle.

Énoncé de l'exercice :

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